เซกเตอร์และความยาวส่วนโค้ง — สูตรและตัวอย่าง

เซกเตอร์คือบริเวณที่อยู่ระหว่างรัศมีสองเส้นกับส่วนโค้งที่เชื่อมปลายรัศมีทั้งสองเข้าด้วยกัน ความยาวส่วนโค้งคือความยาวของขอบโค้งนั้น และพื้นที่เซกเตอร์คือพื้นที่ของชิ้นส่วนรูปพายนี้

ถ้าวงกลมมีรัศมี $r$ และมีมุมที่จุดศูนย์กลางเป็น $\theta$ ให้ตรวจสอบหน่วยของมุมก่อน ถ้า $\theta$ อยู่ในหน่วยเรเดียน ให้ใช้

$$s = r\theta$$

และ

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

ถ้า $\theta$ อยู่ในหน่วยองศา ให้ใช้

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

และ

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก สูตรแบบเรเดียนใช้ได้เฉพาะเมื่อมุมวัดเป็นเรเดียนเท่านั้น

ทำไมสูตรเหล่านี้จึงใช้ได้

ทั้งสองสูตรมาจากแนวคิดการนำ “เศษส่วน” ของวงกลมเต็มวงมาใช้

วงกลมเต็มวงมีเส้นรอบวง $2\pi r$ และมีพื้นที่ $\pi r^2$ เซกเตอร์จะกินเพียงสัดส่วนหนึ่งของวงกลมตามที่มุมที่จุดศูนย์กลางกำหนดไว้ ตัวอย่างเช่น $90^\circ$ เท่ากับหนึ่งในสี่ของรอบเต็ม ดังนั้นเซกเตอร์นี้จึงมีทั้งความยาวส่วนโค้งและพื้นที่เป็นหนึ่งในสี่ของวงกลมเต็ม

ในหน่วยเรเดียน แนวคิดเดียวกันนี้จะเขียนได้กระชับกว่า เพราะวงกลมเต็มวงมีขนาด $2\pi$ เรเดียน ถ้ามุมเป็น $\pi/3$ เซกเตอร์นั้นก็เป็น $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ ของวงกลม

จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมทั้งสองปริมาณจึงเพิ่มขึ้นอย่างเป็นแบบแผน: ถ้ารัศมีมากขึ้น ทั้งสองค่าก็มากขึ้น และถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมากขึ้น ทั้งสองค่าก็มากขึ้นเช่นกัน

ตัวอย่างทำโจทย์: รัศมี $12$ ซม. มุม $60^\circ$

สมมติว่าเซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $12$ ซม. และมีมุมที่จุดศูนย์กลาง $60^\circ$

เนื่องจากมุมอยู่ในหน่วยองศา จึงใช้สูตรสำหรับองศา

สำหรับความยาวส่วนโค้ง

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

ดังนั้นความยาวส่วนโค้งคือ $4\pi$ ซม.

สำหรับพื้นที่เซกเตอร์

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

ดังนั้นพื้นที่เซกเตอร์คือ $24\pi\ \text{cm}^2$

มีวิธีตรวจคำตอบที่มีประโยชน์อยู่ตรงนี้ สำหรับเซกเตอร์เดียวกัน

$$A = \frac{1}{2}rs$$

เมื่อใช้ $r = 12$ และ $s = 4\pi$

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

ผลลัพธ์ตรงกัน แสดงว่าการตั้งโจทย์และการคำนวณสอดคล้องกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับพื้นที่เซกเตอร์และความยาวส่วนโค้ง

1. ใช้ $s = r\theta$ ทั้งที่ $\theta$ ยังเป็นหน่วยองศา
2. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมี ทั้งที่สูตรต้องใช้รัศมี
3. สับสนระหว่างความยาวส่วนโค้งกับความยาวคอร์ด ความยาวส่วนโค้งวัดตามเส้นโค้ง ส่วนคอร์ดเป็นเส้นตรง
4. ลืมว่าพื้นที่เซกเตอร์ต้องเขียนเป็นหน่วยกำลังสอง
5. ปัดเศษเร็วเกินไป ทั้งที่โจทย์ต้องการคำตอบแบบตรงตัวในรูปของ $\pi$

พื้นที่เซกเตอร์และความยาวส่วนโค้งใช้เมื่อไร

สูตรเหล่านี้พบได้ในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ เมื่อคุณกำลังทำงานกับเพียงบางส่วนของวงกลมแทนที่จะเป็นทั้งวง ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ ล้อ เฟือง ลู่วิ่งวงกลม ชิ้นส่วนของแผนภูมิวงกลม และแบบเขียนทางวิศวกรรม

แนวคิดนี้ยังสำคัญต่อไปในวิชาฟิสิกส์และแคลคูลัส เพราะหน่วยเรเดียนทำให้สูตรเกี่ยวกับการหมุนเรียบง่ายและสอดคล้องกันมากขึ้น

วิธีเลือกสูตรที่ถูกอย่างรวดเร็ว

ให้ถามตัวเองก่อนสองข้อ:

1. ฉันต้องการระยะตามเส้นโค้ง หรือพื้นที่ด้านใน?
2. มุมอยู่ในหน่วยองศาหรือเรเดียน?

ถ้าตอบสองข้อนี้ถูก สูตรที่ควรใช้ก็มักจะชัดเจนทันที

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำโจทย์ของคุณเองโดยใช้รัศมี $9$ ม. และมุมที่จุดศูนย์กลาง $120^\circ$ หาความยาวส่วนโค้งก่อน แล้วจึงหาพื้นที่เซกเตอร์ และตรวจดูว่า $A = \frac{1}{2}rs$ ให้พื้นที่เท่ากันหรือไม่ นี่เป็นขั้นต่อไปที่ดีถ้าคุณต้องการทดสอบว่าทั้งสูตรและหน่วยมีความสมเหตุสมผลจริงหรือไม่