원 정리 — 각, 접선, 현

원 정리는 현, 접선, 반지름, 원주각이 있는 사각형이 포함된 도형에서 각을 구할 때 쓰는 규칙입니다. 어떤 정리를 어떤 조건에 맞게 적용할지 알면, 복잡해 보이는 원 도형도 보통 한두 개의 간단한 각 방정식으로 바뀝니다.

조건은 항상 중요합니다. 같은 현을 보는 각인지, 한 점에서만 만나는 진짜 접선인지, 또는 네 꼭짓점이 모두 원 위에 있는지처럼 필요한 조건이 실제로 도형에 있어야만 원 정리를 사용할 수 있습니다.

꼭 알아야 할 원 정리

다음은 학생들이 각 추론 문제에서 가장 자주 쓰는 원 정리들입니다.

중심각은 같은 호에 대한 원주각의 두 배이다

중심각과 원주각이 같은 호를 보면, 중심각은 원주각의 두 배입니다.

중심각이 $\theta$이면, 같은 호에 대한 원주각은

$$\frac{\theta}{2}$$

입니다.

이 정리를 이용하면 중심의 큰 각과 원 위의 더 작은 각 사이를 빠르게 연결할 수 있습니다.

같은 활꼴의 원주각은 같다

원 위의 두 각이 같은 현을 보고 같은 활꼴에 있으면, 그 두 각은 같습니다.

이 정리는 원 위의 두 점이 같은 현을 볼 때 유용합니다. 같은 활꼴에서 같은 현을 보면 각의 크기가 같습니다.

반원에 대한 원주각은 $90^\circ$

삼각형의 한 변이 지름이면, 원 위의 나머지 꼭짓점에서 생기는 각은 직각입니다.

이것은 중심각 정리의 특별한 경우입니다. 지름에 대한 중심각은 $180^\circ$이고, 그 절반이 $90^\circ$이기 때문입니다.

원주각이 있는 사각형의 대각의 합은 $180^\circ$

원주각이 있는 사각형은 네 꼭짓점이 모두 같은 원 위에 있는 사각형입니다.

원주각이 있는 사각형에서 각 $A$와 $C$가 서로 마주 보는 각이면,

$$A + C = 180^\circ$$

입니다.

다른 한 쌍의 마주 보는 각도 마찬가지입니다.

반지름과 접선이 이루는 각은 $90^\circ$

직선이 원의 접선이면, 그 직선은 원과 정확히 한 점에서 만납니다. 그 점까지 그은 반지름은 접선에 수직입니다.

따라서 $OA$가 반지름이고 $A$에서 그은 직선이 접선이면, 그 사이의 각은

$$90^\circ$$

입니다.

접선과 현이 이루는 각은 반대쪽 활꼴의 원주각과 같다

이 정리는 보통 접현각 정리라고 합니다.

접선이 현의 한 끝점에서 원에 접하면, 접선과 현이 이루는 각은 그 현에 대한 반대쪽 활꼴의 원주각과 같습니다.

이 정리는 강력한 지름길입니다. 원 바깥의 선과 이루는 각을, 원 안의 익숙한 각으로 바꿔 주기 때문입니다.

풀이 예시: 하나의 중심각으로 두 각 구하기

$O$를 원의 중심이라고 하고, 현 $AB$가 중심각 $\angle AOB = 110^\circ$를 만든다고 합시다. 점 $C$는 현 $AB$의 반대쪽 호 위의 원주 위에 있고, $A$에서 원의 접선이 그어져 있습니다.

다음을 구해 봅시다.

1. 원주각 $\angle ACB$
2. $A$에서의 접선과 현 $AB$가 이루는 각

먼저 중심각 정리를 사용합니다. 현 $AB$에 대한 원주각은 같은 현 $AB$에 대한 중심각의 절반이므로,

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

입니다.

이제 접현각 정리를 사용합니다. $A$에서의 접선과 현 $AB$가 이루는 각은, 현 $AB$에 대한 반대쪽 활꼴의 원주각과 같습니다. 그 각이 바로 $\angle ACB$이므로, 접현각도

$$55^\circ$$

입니다.

핵심은 계산 자체가 아닙니다. 두 미지의 각이 모두 같은 현 $AB$에서 나온다는 점을 알아차리는 것입니다.

알맞은 원 정리 고르는 법

다음 질문을 순서대로 해 보세요.

1. 표시된 중심각과 그에 대응하는 원 위의 각이 있는가?
2. 한 변이 지름인가?
3. 원과 한 점에서 만나는 접선이 있는가?
4. 사각형의 네 꼭짓점이 모두 원 위에 있는가?
5. 두 각이 같은 현을 보고 있는가?

이 짧은 점검표만으로도 보통 어떤 정리를 써야 하는지 알 수 있습니다.

원 정리에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 같은 호를 보지 않는 각에 대해 “두 배” 규칙을 쓰는 것입니다. 중심각과 원주각은 반드시 같은 호에서 나와야 합니다.

또 다른 실수는 직선이 원에 닿아 보인다는 이유만으로 접선이라고 생각하는 것입니다. 증명 문제나 시험 문제에서는 접선이라는 조건이 주어지거나, 따로 확인되어야 합니다.

학생들은 “같은 활꼴의 원주각은 같다”와 “원주각이 있는 사각형의 대각의 합은 $180^\circ$”를 자주 혼동하기도 합니다. 하나는 각이 서로 같다는 뜻이고, 다른 하나는 두 각의 합이 $180^\circ$라는 뜻입니다.

마지막으로, 원 근처에 있는 아무 사각형이나 원주각이 있는 사각형이라고 생각하는 실수도 있습니다. 이 정리를 쓰려면 네 꼭짓점이 모두 원 위에 있어야 합니다.

원 정리는 언제 쓰일까

원 정리는 학교 기하, 각 추론 증명, 좌표기하 설정, 그리고 처음 보기보다 더 많은 정보를 담고 있는 시험 도형 문제에서 자주 등장합니다.

특히 직선들 사이의 관계를 증명해야 할 때, 빠르게 빠진 각을 구해야 할 때, 또는 바깥의 접선이 만드는 각을 원 안의 각과 연결해야 할 때 매우 유용합니다.

직접 비슷한 문제를 풀어 보세요

중심이 $O$인 원을 그리고 현 $PQ$를 그리세요. $\angle POQ = 84^\circ$라고 합시다. 점 $R$을 현 $PQ$의 반대쪽 호 위의 원주에 찍고, $P$에서 접선을 그리세요.

$\angle PRQ$를 구한 뒤, $P$에서의 접선과 현 $PQ$가 이루는 각도 구해 보세요.

설정을 단계별로 확인하고 싶다면, GPAI Solver에서 비슷한 문제를 풀어 보면서 각 정리를 올바른 조건에 맞게 적용했는지 확인해 보세요.