Teoremas de la circunferencia — ángulos, tangentes y cuerdas

Los teoremas de la circunferencia son reglas para hallar ángulos en diagramas con cuerdas, tangentes, radios y cuadriláteros cíclicos. Si relacionas el teorema con la condición correcta, un diagrama de circunferencia que parece complicado suele convertirse en una o dos ecuaciones de ángulos sencillas.

La condición importa siempre. Solo puedes usar un teorema de la circunferencia cuando el diagrama realmente tiene la configuración necesaria, como ángulos que subtienen la misma cuerda, una tangente verdadera que toca en un solo punto o cuatro vértices situados sobre la misma circunferencia.

Teoremas de la circunferencia que más necesitas

Estos son los teoremas de la circunferencia que los estudiantes usan con más frecuencia en problemas de persecución de ángulos.

El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia

Si un ángulo central y un ángulo en la circunferencia subtienen el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.

Si el ángulo central es $\theta$, entonces el ángulo inscrito sobre el mismo arco es

$$\frac{\theta}{2}$$

Esto te permite pasar rápidamente de un ángulo grande en el centro a un ángulo más pequeño sobre la circunferencia.

Los ángulos en el mismo segmento son iguales

Si dos ángulos en la circunferencia subtienen la misma cuerda y están en el mismo segmento, son iguales.

Esto es útil cuando dos puntos de la circunferencia “ven” la misma cuerda. Si subtienen la misma cuerda desde el mismo segmento, los ángulos coinciden.

El ángulo en una semicircunferencia es $90^\circ$

Si se dibuja un triángulo con un lado como diámetro, entonces el ángulo en el punto de la circunferencia es recto.

Este es un caso especial del teorema del ángulo en el centro, porque el ángulo en el centro que subtiende un diámetro es $180^\circ$, y la mitad de eso es $90^\circ$.

Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman $180^\circ$

Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero cuyos cuatro vértices están sobre la misma circunferencia.

Si los ángulos $A$ y $C$ son opuestos en un cuadrilátero cíclico, entonces

$$A + C = 180^\circ$$

Lo mismo ocurre con el otro par de ángulos opuestos.

Un radio y una tangente se cortan en $90^\circ$

Si una recta es tangente a una circunferencia, la toca en exactamente un punto. El radio trazado hasta ese punto es perpendicular a la tangente.

Así que si $OA$ es un radio y la recta en $A$ es tangente, entonces el ángulo entre ambos es

$$90^\circ$$

El ángulo entre una tangente y una cuerda es igual al ángulo en el segmento opuesto

A esto se le suele llamar teorema de la tangente y la cuerda.

Si una tangente toca la circunferencia en un extremo de una cuerda, entonces el ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo en la circunferencia que subtiende esa cuerda en el segmento opuesto.

Este es un atajo muy potente porque convierte un ángulo de una recta fuera de la circunferencia en un ángulo conocido dentro de la circunferencia.

Ejemplo resuelto: hallar dos ángulos a partir de un ángulo central

Supón que $O$ es el centro de una circunferencia y que la cuerda $AB$ subtiende un ángulo central $\angle AOB = 110^\circ$. El punto $C$ está sobre la circunferencia en el arco opuesto a la cuerda $AB$, y una tangente toca la circunferencia en $A$.

Halla:

1. el ángulo en la circunferencia $\angle ACB$
2. el ángulo entre la tangente en $A$ y la cuerda $AB$

Empieza con el teorema del ángulo en el centro. El ángulo en la circunferencia que subtiende la cuerda $AB$ es la mitad del ángulo central que subtiende la cuerda $AB$, así que

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Ahora usa el teorema de la tangente y la cuerda. El ángulo entre la tangente en $A$ y la cuerda $AB$ es igual al ángulo en el segmento opuesto que subtiende la cuerda $AB$. Ese ángulo es $\angle ACB$, así que el ángulo entre la tangente y la cuerda también es

$$55^\circ$$

La idea clave no es la aritmética. Es darse cuenta de que ambos ángulos desconocidos provienen de la misma cuerda $AB$.

Cómo elegir el teorema de la circunferencia correcto

Hazte estas preguntas en orden:

1. ¿Hay un ángulo central marcado y un ángulo correspondiente en la circunferencia?
2. ¿Uno de los lados es un diámetro?
3. ¿Hay una tangente que toca la circunferencia en un solo punto?
4. ¿Los cuatro vértices del cuadrilátero están sobre la circunferencia?
5. ¿Dos ángulos subtienen la misma cuerda?

Esa lista rápida normalmente te dice qué teorema corresponde al diagrama.

Errores comunes con los teoremas de la circunferencia

Un error frecuente es usar la regla del “doble” para ángulos que no subtienen el mismo arco. El ángulo central y el ángulo en la circunferencia deben provenir del mismo arco.

Otro error es llamar tangente a una recta solo porque parece tocar la circunferencia. En una demostración o en un problema de examen, la condición de tangencia debe estar dada o demostrada.

Los estudiantes también confunden “los ángulos en el mismo segmento son iguales” con “los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman $180^\circ$”. Un teorema da igualdad. El otro da un par suplementario.

Un último error es suponer que cualquier figura de cuatro lados cerca de una circunferencia es cíclica. Para el teorema del cuadrilátero cíclico, los cuatro vértices deben estar sobre la circunferencia.

Cuándo se usan los teoremas de la circunferencia

Los teoremas de la circunferencia aparecen en geometría escolar, demostraciones de persecución de ángulos, planteamientos de geometría analítica y preguntas de examen en las que un diagrama da más información de la que parece al principio.

Son especialmente útiles cuando necesitas demostrar que ciertas rectas están relacionadas, hallar ángulos faltantes rápidamente o conectar un ángulo exterior formado por una tangente con un ángulo interior de la circunferencia.

Prueba tu propia versión

Dibuja una circunferencia con centro $O$ y cuerda $PQ$. Sea $\angle POQ = 84^\circ$. Coloca un punto $R$ sobre la circunferencia en el arco opuesto a la cuerda $PQ$ y luego dibuja una tangente en $P$.

Halla $\angle PRQ$ y después halla el ángulo entre la tangente en $P$ y la cuerda $PQ$.

Si quieres comprobar tu planteamiento paso a paso, intenta resolver un problema similar en GPAI Solver y mira si relacionaste cada teorema con la condición correcta.