Twierdzenia o okręgu — kąty, styczne i cięciwy

Twierdzenia o okręgu to reguły służące do wyznaczania kątów na rysunkach z cięciwami, stycznymi, promieniami i czworokątami wpisanymi w okrąg. Jeśli dopasujesz właściwe twierdzenie do odpowiedniego warunku, nawet skomplikowany rysunek z okręgiem zwykle sprowadza się do jednego lub dwóch prostych równań kątowych.

Warunek ma znaczenie za każdym razem. Z twierdzenia o okręgu można skorzystać tylko wtedy, gdy na rysunku rzeczywiście występuje potrzebny układ, na przykład kąty oparte na tej samej cięciwie, prawdziwa styczna dotykająca okręgu w jednym punkcie albo cztery wierzchołki leżące na okręgu.

Najważniejsze twierdzenia o okręgu

To są twierdzenia o okręgu, których uczniowie najczęściej używają w zadaniach na obliczanie kątów.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego

Jeśli kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Jeśli kąt środkowy ma miarę $\theta$, to kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę

$$\frac{\theta}{2}$$

Pozwala to szybko przechodzić od dużego kąta przy środku do mniejszego kąta na okręgu.

Kąty w tym samym wycinku są równe

Jeśli dwa kąty wpisane są oparte na tej samej cięciwie i leżą w tym samym wycinku, to są równe.

To jest przydatne, gdy dwa punkty na okręgu „widzą” tę samą cięciwę. Jeśli są oparte na tej samej cięciwie i leżą w tym samym wycinku, to kąty mają tę samą miarę.

Kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$

Jeśli narysowano trójkąt, którego jeden bok jest średnicą, to kąt przy punkcie leżącym na okręgu jest kątem prostym.

To szczególny przypadek twierdzenia o kącie środkowym, ponieważ kąt środkowy oparty na średnicy ma $180^\circ$, a połowa tej miary to $90^\circ$.

Suma kątów przeciwległych w czworokącie wpisanym wynosi $180^\circ$

Czworokąt wpisany w okrąg to czworokąt, którego wszystkie cztery wierzchołki leżą na tym samym okręgu.

Jeśli kąty $A$ i $C$ są kątami przeciwległymi w czworokącie wpisanym, to

$$A + C = 180^\circ$$

To samo dotyczy drugiej pary kątów przeciwległych.

Promień i styczna przecinają się pod kątem $90^\circ$

Jeśli prosta jest styczna do okręgu, to dotyka okręgu dokładnie w jednym punkcie. Promień poprowadzony do tego punktu jest prostopadły do stycznej.

Zatem jeśli $OA$ jest promieniem, a prosta w punkcie $A$ jest styczna, to kąt między nimi ma miarę

$$90^\circ$$

Kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi w przeciwległym wycinku

To twierdzenie często nazywa się twierdzeniem o kącie między styczną a cięciwą.

Jeśli styczna dotyka okręgu w jednym końcu cięciwy, to kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie w przeciwległym wycinku.

To bardzo przydatny skrót, ponieważ zamienia kąt utworzony przez prostą poza okręgiem na znany kąt wewnątrz okręgu.

Przykład: wyznacz dwa kąty z jednego kąta środkowego

Załóżmy, że $O$ jest środkiem okręgu, a cięciwa $AB$ wyznacza kąt środkowy $\angle AOB = 110^\circ$. Punkt $C$ leży na okręgu na łuku przeciwnym do cięciwy $AB$, a styczna dotyka okręgu w punkcie $A$.

Wyznacz:

1. kąt wpisany $\angle ACB$
2. kąt między styczną w punkcie $A$ a cięciwą $AB$

Zacznij od twierdzenia o kącie środkowym. Kąt wpisany oparty na cięciwie $AB$ jest równy połowie kąta środkowego opartego na cięciwie $AB$, więc

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Teraz użyj twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą. Kąt między styczną w punkcie $A$ a cięciwą $AB$ jest równy kątowi w przeciwległym wycinku opartemu na cięciwie $AB$. Tym kątem jest $\angle ACB$, więc kąt między styczną a cięciwą także ma miarę

$$55^\circ$$

Najważniejsze nie są tu obliczenia. Kluczowe jest zauważenie, że oba szukane kąty wynikają z tej samej cięciwy $AB$.

Jak wybrać właściwe twierdzenie o okręgu

Zadaj sobie po kolei następujące pytania:

1. Czy zaznaczono kąt środkowy i odpowiadający mu kąt na okręgu?
2. Czy jeden z boków jest średnicą?
3. Czy jest styczna dotykająca okręgu w jednym punkcie?
4. Czy wszystkie cztery wierzchołki czworokąta leżą na okręgu?
5. Czy dwa kąty są oparte na tej samej cięciwie?

Ta krótka lista kontrolna zwykle podpowiada, które twierdzenie pasuje do rysunku.

Najczęstsze błędy w twierdzeniach o okręgu

Jednym z częstych błędów jest stosowanie zasady „razy dwa” do kątów, które nie są oparte na tym samym łuku. Kąt środkowy i kąt wpisany muszą wynikać z tego samego łuku.

Innym błędem jest uznawanie prostej za styczną tylko dlatego, że wygląda, jakby dotykała okręgu. W dowodzie lub zadaniu egzaminacyjnym warunek styczności powinien być podany albo wykazany.

Uczniowie mylą też „kąty w tym samym wycinku są równe” z „suma kątów przeciwległych w czworokącie wpisanym wynosi $180^\circ$”. Jedno twierdzenie daje równość. Drugie daje parę kątów dopełniających się do $180^\circ$.

Ostatnim częstym błędem jest zakładanie, że każda figura czworokątna narysowana blisko okręgu jest wpisana w okrąg. Aby zastosować twierdzenie o czworokącie wpisanym, wszystkie cztery wierzchołki muszą leżeć na okręgu.

Gdzie stosuje się twierdzenia o okręgu

Twierdzenia o okręgu pojawiają się w geometrii szkolnej, dowodach opartych na zależnościach kątowych, zadaniach z geometrii analitycznej oraz na egzaminach, gdzie rysunek zawiera więcej informacji, niż wydaje się na pierwszy rzut oka.

Są szczególnie przydatne, gdy trzeba wykazać zależność między prostymi, szybko obliczyć brakujące kąty albo powiązać zewnętrzny kąt przy stycznej z kątem wewnątrz okręgu.

Spróbuj samodzielnie

Narysuj okrąg o środku $O$ i cięciwę $PQ$. Niech $\angle POQ = 84^\circ$. Zaznacz punkt $R$ na okręgu na łuku przeciwnym do cięciwy $PQ$, a następnie narysuj styczną w punkcie $P$.

Oblicz $\angle PRQ$, a potem kąt między styczną w punkcie $P$ a cięciwą $PQ$.

Jeśli chcesz sprawdzić swoje rozwiązanie krok po kroku, spróbuj rozwiązać podobne zadanie w GPAI Solver i zobacz, czy poprawnie dopasowałeś każde twierdzenie do właściwego warunku.