圆周角定理——角、切线与弦

圆定理是用来求解含有弦、切线、半径和圆内接四边形图形中角度的几何规则。只要把定理和正确的条件对应起来，看起来复杂的圆形图往往就能化成一两个简单的角度方程。

条件每次都很关键。只有当图形确实满足所需条件时，你才能使用某个圆定理，比如角所对的是同一条弦、切线确实只在一点与圆相切，或者四个顶点都在同一个圆上。

你最需要掌握的圆定理

这些是学生在角度追踪题中最常用的圆定理。

圆心角等于同弧所对圆周角的两倍

如果一个圆心角和一个圆周角所对的是同一段弧，那么圆心角就是圆周角的两倍。

如果圆心角是 $\theta$，那么同弧所对的圆周角就是

$$\frac{\theta}{2}$$

这个定理可以让你快速在较大的圆心角和圆上的较小角之间转换。

同弧所对的圆周角相等

如果圆周上的两个角都对着同一条弦，并且位于同一弓形内，那么这两个角相等。

当圆上的两个点都“看见”同一条弦时，这个定理就很有用。如果它们在同一弓形内对同一条弦所张的角相同，那么这两个角就相等。

半圆所对的圆周角是 $90^\circ$

如果一个三角形的一边是直径，那么圆周上的那个角就是直角。

这是“圆心角等于圆周角两倍”定理的一个特殊情况，因为直径所对的圆心角是 $180^\circ$，它的一半就是 $90^\circ$。

圆内接四边形的对角和为 $180^\circ$

圆内接四边形是指四个顶点都在同一个圆上的四边形。

如果 $A$ 和 $C$ 是圆内接四边形的一对对角，那么

$$A + C = 180^\circ$$

另一对对角也满足同样的关系。

半径与切线相交成 $90^\circ$

如果一条直线是圆的切线，那么它只在一个点与圆接触。连到该点的半径与切线垂直。

所以如果 $OA$ 是半径，并且过点 $A$ 的直线是切线，那么它们之间的夹角就是

$$90^\circ$$

切线与弦所成的角等于对弧所对的圆周角

这通常叫做切线—弦定理。

如果一条切线在弦的一个端点处与圆相切，那么切线与这条弦所成的角，等于另一弓形内这条弦所对的圆周角。

这是一个很有力的捷径，因为它能把圆外的一条线所形成的角，转化为圆内更熟悉的角。

例题：由一个圆心角求两个角

设 $O$ 是圆心，弦 $AB$ 所对的圆心角 $\angle AOB = 110^\circ$。点 $C$ 在圆周上，位于弦 $AB$ 所对的另一段弧上，并且在点 $A$ 处作圆的切线。

求：

1. 圆周角 $\angle ACB$
2. 点 $A$ 处切线与弦 $AB$ 所成的角

先用圆心角定理。弦 $AB$ 所对的圆周角等于同弦所对圆心角的一半，所以

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

接着用切线—弦定理。点 $A$ 处切线与弦 $AB$ 所成的角，等于另一弓形内弦 $AB$ 所对的圆周角。这个角就是 $\angle ACB$，所以切线—弦所成的角也是

$$55^\circ$$

关键不在于计算本身，而在于看出这两个未知角都来自同一条弦 $AB$。

如何选择正确的圆定理

按顺序问自己这些问题：

1. 图中是否标出了圆心角，以及与之对应的圆周角？
2. 是否有一条边是直径？
3. 是否有一条切线只在一点与圆相切？
4. 四边形的四个顶点是否都在圆上？
5. 是否有两个角对着同一条弦？

这个快速检查表通常能告诉你图中该用哪个定理。

圆定理中的常见错误

一个常见错误是，对并非同弧所对的角使用“两倍”规则。圆心角和圆周角必须来自同一段弧。

另一个错误是，仅仅因为一条直线看起来碰到了圆，就把它当成切线。在证明题或考试题中，切线条件应该被明确给出，或者先证明出来。

学生还常把“同弧所对的圆周角相等”和“圆内接四边形的对角和为 $180^\circ$”混淆。前者给出的是相等关系，后者给出的是互补关系。

最后一个错误是，认为任何靠近圆的四边形都是圆内接四边形。要使用圆内接四边形定理，四个顶点必须都在圆上。

圆定理会用在什么地方

圆定理常见于学校几何、角度追踪证明、坐标几何题，以及那些图形看起来信息不多、其实暗含很多条件的考试题。

当你需要证明直线之间的关系、快速求出未知角，或者把圆外的切线角和圆内的角联系起来时，它们尤其有用。

自己试一题

画一个以 $O$ 为圆心的圆，并作弦 $PQ$。设 $\angle POQ = 84^\circ$。在弦 $PQ$ 所对的另一段弧上取一点 $R$，然后在点 $P$ 处作切线。

求 $\angle PRQ$，再求点 $P$ 处切线与弦 $PQ$ 所成的角。

如果你想一步一步检查自己的作图和思路，可以在 GPAI Solver 中尝试解一道类似的问题，看看你是否把每个定理都和正确的条件对应上了。