Θεωρήματα Κύκλου — Γωνίες, Εφαπτόμενες και Χορδές

Τα θεωρήματα κύκλου είναι κανόνες για την εύρεση γωνιών σε σχήματα με χορδές, εφαπτόμενες, ακτίνες και εγγράψιμα τετράπλευρα. Αν αντιστοιχίσεις το σωστό θεώρημα στη σωστή συνθήκη, ένα περίπλοκο σχήμα κύκλου συνήθως μετατρέπεται σε μία ή δύο απλές εξισώσεις γωνιών.

Η συνθήκη έχει σημασία κάθε φορά. Μπορείς να χρησιμοποιήσεις ένα θεώρημα κύκλου μόνο όταν το σχήμα έχει πραγματικά την απαιτούμενη διάταξη, όπως γωνίες που βαίνουν στην ίδια χορδή, μια πραγματική εφαπτομένη που αγγίζει σε ένα σημείο ή τέσσερις κορυφές που βρίσκονται όλες πάνω στον κύκλο.

Τα θεωρήματα κύκλου που χρειάζεσαι περισσότερο

Αυτά είναι τα θεωρήματα κύκλου που οι μαθητές χρησιμοποιούν πιο συχνά σε ασκήσεις υπολογισμού γωνιών.

Η γωνία στο κέντρο είναι διπλάσια από τη γωνία στην περιφέρεια

Αν μια κεντρική γωνία και μια γωνία στην περιφέρεια βαίνουν στο ίδιο τόξο, τότε η κεντρική γωνία είναι διπλάσια από τη γωνία στην περιφέρεια.

Αν η κεντρική γωνία είναι $\theta$, τότε η εγγεγραμμένη γωνία στο ίδιο τόξο είναι

$$\frac{\theta}{2}$$

Αυτό σου επιτρέπει να περνάς γρήγορα από μια μεγάλη γωνία στο κέντρο σε μια μικρότερη γωνία πάνω στον κύκλο.

Οι γωνίες στο ίδιο τμήμα είναι ίσες

Αν δύο γωνίες στην περιφέρεια βαίνουν στην ίδια χορδή και βρίσκονται στο ίδιο τμήμα, τότε είναι ίσες.

Αυτό είναι χρήσιμο όταν δύο σημεία του κύκλου «βλέπουν» την ίδια χορδή. Αν βαίνουν στην ίδια χορδή από το ίδιο τμήμα, τότε οι γωνίες είναι ίσες.

Η γωνία σε ημικύκλιο είναι $90^\circ$

Αν ένα τρίγωνο έχει μία πλευρά του διάμετρο, τότε η γωνία στο σημείο της περιφέρειας είναι ορθή.

Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος της γωνίας στο κέντρο, επειδή η γωνία στο κέντρο που βαίνει σε διάμετρο είναι $180^\circ$, και το μισό της είναι $90^\circ$.

Οι απέναντι γωνίες εγγράψιμου τετραπλεύρου έχουν άθροισμα $180^\circ$

Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου και οι τέσσερις κορυφές βρίσκονται στον ίδιο κύκλο.

Αν οι γωνίες $A$ και $C$ είναι απέναντι γωνίες σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο, τότε

$$A + C = 180^\circ$$

Το ίδιο ισχύει και για το άλλο ζεύγος απέναντι γωνιών.

Μια ακτίνα και μια εφαπτομένη σχηματίζουν γωνία $90^\circ$

Αν μια ευθεία είναι εφαπτομένη σε έναν κύκλο, τον αγγίζει σε ακριβώς ένα σημείο. Η ακτίνα που φέρνουμε σε αυτό το σημείο είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

Άρα, αν το $OA$ είναι ακτίνα και η ευθεία στο $A$ είναι εφαπτομένη, τότε η γωνία μεταξύ τους είναι

$$90^\circ$$

Η γωνία μεταξύ εφαπτομένης και χορδής είναι ίση με τη γωνία στο απέναντι τμήμα

Αυτό συχνά ονομάζεται θεώρημα εφαπτομένης-χορδής.

Αν μια εφαπτομένη αγγίζει τον κύκλο στο ένα άκρο μιας χορδής, τότε η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της χορδής είναι ίση με τη γωνία στην περιφέρεια που βαίνει στην ίδια χορδή στο απέναντι τμήμα.

Αυτό είναι ένα ισχυρό συντόμευμα, επειδή μετατρέπει μια γωνία γραμμής έξω από τον κύκλο σε μια γνώριμη γωνία μέσα στον κύκλο.

Λυμένο παράδειγμα: Βρες δύο γωνίες από μία κεντρική γωνία

Έστω ότι το $O$ είναι το κέντρο ενός κύκλου και η χορδή $AB$ βαίνει σε κεντρική γωνία $\angle AOB = 110^\circ$. Το σημείο $C$ βρίσκεται στην περιφέρεια στο απέναντι τόξο από τη χορδή $AB$, και μια εφαπτομένη αγγίζει τον κύκλο στο $A$.

Να βρεθούν:

1. η γωνία στην περιφέρεια $\angle ACB$
2. η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στο $A$ και της χορδής $AB$

Ξεκίνα με το θεώρημα της γωνίας στο κέντρο. Η γωνία στην περιφέρεια που βαίνει στη χορδή $AB$ είναι το μισό της κεντρικής γωνίας που βαίνει στη χορδή $AB$, άρα

$$\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Τώρα χρησιμοποίησε το θεώρημα εφαπτομένης-χορδής. Η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στο $A$ και της χορδής $AB$ είναι ίση με τη γωνία στο απέναντι τμήμα που βαίνει στη χορδή $AB$. Αυτή η γωνία είναι η $\angle ACB$, άρα η γωνία εφαπτομένης-χορδής είναι επίσης

$$55^\circ$$

Η βασική κίνηση δεν είναι η αριθμητική. Είναι να παρατηρήσεις ότι και οι δύο άγνωστες γωνίες προκύπτουν από την ίδια χορδή $AB$.

Πώς να επιλέγεις το σωστό θεώρημα κύκλου

Κάνε αυτές τις ερωτήσεις με τη σειρά:

1. Υπάρχει σημειωμένη κεντρική γωνία και αντίστοιχη γωνία στην περιφέρεια;
2. Είναι μία πλευρά διάμετρος;
3. Υπάρχει εφαπτομένη που αγγίζει τον κύκλο σε ένα σημείο;
4. Βρίσκονται και οι τέσσερις κορυφές του τετραπλεύρου πάνω στον κύκλο;
5. Βαίνουν δύο γωνίες στην ίδια χορδή;

Αυτός ο γρήγορος έλεγχος συνήθως σου δείχνει ποιο θεώρημα ταιριάζει στο σχήμα.

Συνηθισμένα λάθη στα θεωρήματα κύκλου

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι η χρήση του κανόνα του «διπλάσιου» για γωνίες που δεν βαίνουν στο ίδιο τόξο. Η γωνία στο κέντρο και η γωνία στην περιφέρεια πρέπει να προέρχονται από το ίδιο τόξο.

Ένα άλλο λάθος είναι να θεωρείται μια ευθεία εφαπτομένη μόνο και μόνο επειδή φαίνεται να αγγίζει τον κύκλο. Σε μια απόδειξη ή σε ένα θέμα εξετάσεων, η συνθήκη της εφαπτομένης πρέπει να δίνεται ή να αποδεικνύεται.

Οι μαθητές επίσης μπερδεύουν το «οι γωνίες στο ίδιο τμήμα είναι ίσες» με το «οι απέναντι γωνίες εγγράψιμου τετραπλεύρου έχουν άθροισμα $180^\circ$». Το ένα θεώρημα δίνει ισότητα. Το άλλο δίνει παραπληρωματικές γωνίες.

Ένα τελευταίο λάθος είναι να υποθέτεις ότι οποιοδήποτε τετράπλευρο κοντά σε έναν κύκλο είναι εγγράψιμο. Για το θεώρημα του εγγράψιμου τετραπλεύρου, και οι τέσσερις κορυφές πρέπει να βρίσκονται πάνω στον κύκλο.

Πού χρησιμοποιούνται τα θεωρήματα κύκλου

Τα θεωρήματα κύκλου εμφανίζονται στη σχολική γεωμετρία, σε αποδείξεις με υπολογισμό γωνιών, σε διατάξεις αναλυτικής γεωμετρίας και σε εξεταστικά θέματα όπου ένα σχήμα δίνει περισσότερες πληροφορίες απ’ όσες φαίνονται αρχικά.

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν χρειάζεται να αποδείξεις ότι ευθείες σχετίζονται μεταξύ τους, να βρεις γρήγορα άγνωστες γωνίες ή να συνδέσεις μια εξωτερική γωνία εφαπτομένης με μια εσωτερική γωνία του κύκλου.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Σχεδίασε έναν κύκλο με κέντρο $O$ και χορδή $PQ$. Έστω $\angle POQ = 84^\circ$. Πάρε ένα σημείο $R$ στην περιφέρεια στο απέναντι τόξο από τη χορδή $PQ$ και μετά σχεδίασε μια εφαπτομένη στο $P$.

Βρες τη $\angle PRQ$ και μετά βρες τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στο $P$ και της χορδής $PQ$.

Αν θέλεις να ελέγξεις τη διάταξή σου βήμα προς βήμα, δοκίμασε να λύσεις ένα παρόμοιο πρόβλημα στο GPAI Solver και δες αν αντιστοίχισες κάθε θεώρημα στη σωστή συνθήκη.