Wykresy funkcji trygonometrycznych — sin, cos, tan i przekształcenia

Wykresy funkcji trygonometrycznych pokazują, jak zmieniają się $\sin x$, $\cos x$ i $\tan x$ wraz ze zmianą $x$. Szybki sposób ich odczytywania jest prosty: sinus i cosinus są okresowymi falami, tangens powtarza się w gałęziach z pionowymi asymptotami, a przekształcenia określają wysokość, szerokość, przesunięcie i odbicie wykresu podstawowego.

Jeśli rysujesz wykres na podstawie równania, zacznij od czterech pytań: Jaka jest funkcja podstawowa? Jaki jest okres? Gdzie znajduje się linia środkowa lub linia centralna? Czy wykres został przesunięty lub odbity?

Jak wyglądają wykresy sinusa, cosinusa i tangensa

Podstawowy wykres sinusa, $y=\sin x$, przechodzi przez początek układu współrzędnych i powtarza się co $2\pi$, gdy $x$ jest mierzone w radianach. Podstawowy wykres cosinusa, $y=\cos x$, ma taki sam falowy kształt i ten sam okres, ale zaczyna się od wartości maksymalnej przy $x=0$.

Podstawowy wykres tangensa, $y=\tan x$, zachowuje się inaczej. Powtarza się co $\pi$, przechodzi przez początek układu i ma pionowe asymptoty tam, gdzie $\cos x = 0$. Ponieważ tangens jest nieograniczony, nie ma amplitudy.

Jeśli na lekcji kąty mierzy się w stopniach zamiast w radianach, okresy podstawowe wynoszą $360^\circ$ dla sinusa i cosinusa oraz $180^\circ$ dla tangensa.

Jak amplituda, okres i przesunięcia zmieniają wykres

Dla sinusa i cosinusa często używa się postaci

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

lub

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

Jeśli $x$ jest w radianach, to:

• amplituda $= |a|$
• okres $= \frac{2\pi}{|b|}$
• przesunięcie poziome $= h$
• przesunięcie pionowe $= k$
• linia środkowa $= y=k$

Jeśli $a<0$, wykres jest odbity względem swojej linii środkowej. Jeśli $b<0$, wykres jest odbity poziomo. W wielu szkolnych szkicach najważniejsze jest jednak poprawne wyznaczenie okresu, przesunięcia i kluczowych punktów.

Dla tangensa typowa postać to

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

i jeśli $x$ jest w radianach,

• okres $= \frac{\pi}{|b|}$
• przesunięcie poziome $= h$
• przesunięcie pionowe $= k$

Nadal występuje pionowy współczynnik rozciągnięcia zależny od $a$, ale nie nazywa się go amplitudą, ponieważ tangens nie ma największej ani najmniejszej wartości.

Co oznaczają amplituda i okres

Amplituda mówi, jak daleko wykres sinusa lub cosinusa odchyla się powyżej i poniżej swojej linii środkowej. Jeśli amplituda wynosi $3$, wykres wznosi się o $3$ jednostki ponad linię środkową i opada o $3$ jednostki poniżej niej.

Okres mówi, jaką odległość wzdłuż osi $x$ wykres potrzebuje, aby wykonać jedno pełne powtórzenie. Mniejszy okres oznacza, że wykres jest ściśnięty poziomo. Większy okres oznacza, że jest rozciągnięty.

To najważniejszy schemat do zapamiętania: $a$ i $k$ sterują zachowaniem pionowym, a $b$ i $h$ zachowaniem poziomym.

Przykład: wykres $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$

Zacznij od wykresu podstawowego $y=\sin x$.

Teraz odczytaj każde przekształcenie:

• $a=-2$, więc amplituda wynosi $2$, a wykres jest odbity względem linii środkowej.
• $b=1$, więc okres pozostaje równy $2\pi$.
• $h=\frac{\pi}{3}$, więc wykres przesuwa się w prawo o $\frac{\pi}{3}$.
• $k=1$, więc linia środkowa to $y=1$.

Zatem wykres oscyluje wokół $y=1$, osiąga maksimum przy $y=3$, osiąga minimum przy $y=-1$ i wykonuje jeden pełny okres na szerokości $2\pi$.

Aby szybko naszkicować wykres, użyj pięciu standardowych argumentów sinusa z jednego okresu i przekształć je. Kluczowe punkty to

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

Te punkty pokazują pełny kształt: zacznij na linii środkowej, najpierw zejdź w dół z powodu odbicia, wróć do linii środkowej, wznieś się do maksimum i wróć z powrotem do linii środkowej.

To nawyk, który oszczędza najwięcej czasu: przekształcaj wykres podstawowy zamiast budować wykres od zera.

Jak działają przekształcone wykresy tangensa

Tangens wymaga innego sposobu myślenia, ponieważ jego wykres opiera się na asymptotach, a nie na maksimach i minimach.

Dla wykresu podstawowego $y=\tan x$ pionowe asymptoty są w punktach

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

dla liczb całkowitych $n$, a miejsca zerowe są w punktach

$$x = n\pi$$

Dla przekształconego wykresu $y=a\tan(b(x-h))+k$ asymptoty występują wtedy, gdy

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

więc odległość między nimi wynosi $\frac{\pi}{|b|}$ w radianach. W przypadku $y=\tan(2x)$ ta odległość staje się równa $\frac{\pi}{2}$, więc gałęzie powtarzają się dwa razy częściej. Ten odstęp jest ważniejszy niż próba myślenia w kategoriach amplitudy.

Typowe błędy przy wykresach funkcji trygonometrycznych

Nazywanie rozciągnięcia tangensa „amplitudą”

Sinus i cosinus mają największą i najmniejszą odległość od linii środkowej, więc pojęcie amplitudy ma sens. Tangens nie stabilizuje się, więc nie ma amplitudy.

Błędny znak przesunięcia poziomego

W $y=\sin(x-2)$ wykres przesuwa się o $2$ w prawo, a nie w lewo. Znak wewnątrz nawiasu na początku często wydaje się odwrotny.

Mylenie wzoru na okres

Jeśli we wzorze występuje współczynnik $b$ wewnątrz argumentu, okres dzieli się przez $|b|$. Dla sinusa i cosinusa oznacza to $\frac{2\pi}{|b|}$ w radianach. Dla tangensa oznacza to $\frac{\pi}{|b|}$.

Zapominanie, czy oś jest w radianach czy w stopniach

Powyższe wzory używają radianów. Jeśli na kursie lub wykresie używa się stopni, zamień $2\pi$ na $360^\circ$, a $\pi$ na $180^\circ$.

Kiedy używa się wykresów funkcji trygonometrycznych

Wykresy trygonometryczne są używane wszędzie tam, gdzie wzór się powtarza. W szkolnej matematyce pomagają zrozumieć przekształcenia, zachowanie okresowe oraz związek między okręgiem jednostkowym a funkcjami. Poza szkołą te same kształty pojawiają się w falach, dźwięku, cyklach sezonowych, układach obrotowych i modelach sygnałów.

Nie potrzebujesz całego tego dodatkowego kontekstu, aby poprawnie odczytać wykres. Na większości zajęć praktyczne zadanie polega na rozpoznaniu kształtu podstawowego, wyznaczeniu jednego okresu lub jednej gałęzi i uważnym śledzeniu przekształceń.

Spróbuj podobnego zadania

Naszkicuj $y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$. Najpierw określ amplitudę, okres, przesunięcie i linię środkową, zanim zaznaczysz jakiekolwiek punkty. Jeśli potrafisz opisać wykres słowami przed jego narysowaniem, to znaczy, że zaczynasz rozumieć przekształcenia.