Funkcje odwrotne trygonometryczne — wzory i wykresy

Funkcje odwrotne trygonometryczne zwracają kąt na podstawie wartości funkcji trygonometrycznej. W praktyce $\arcsin x$, $\arccos x$ i $\arctan x$ zwracają po jednym standardowym kącie, zwanym wartością główną, a nie każdy kąt, który pasuje.

To ograniczenie jest konieczne. Sinus, cosinus i tangens powtarzają wartości na swoich pełnych wykresach, więc mają funkcje odwrotne dopiero wtedy, gdy ograniczymy je do przedziałów, w których każda wartość wyjściowa pochodzi od dokładnie jednego kąta.

Co oznaczają $\arcsin x$, $\arccos x$ i $\arctan x$

Te definicje pokazują zarówno zależność trygonometryczną, jak i dozwolony zakres wartości wyjściowych:

$$\arcsin x = y \quad \text{oznacza, że} \quad \sin y = x \text{ oraz } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{oznacza, że} \quad \cos y = x \text{ oraz } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{oznacza, że} \quad \tan y = x \text{ oraz } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Te warunki dotyczące przedziałów nie są tylko dodatkowym szczegółem. To właśnie one sprawiają, że funkcja odwrotna jest jednowartościowa.

Dziedziny i zbiory wartości, które naprawdę trzeba znać

Dla trzech funkcji odwrotnych trygonometrycznych najczęściej używanych przez uczniów:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Czytaj każdy wiersz tak: najpierw argument, potem wynik. Na przykład $\arcsin x$ przyjmuje tylko $-1 \le x \le 1$, ponieważ sinus nigdy nie przyjmuje wartości spoza tego przedziału.

Jak działają wykresy funkcji odwrotnych trygonometrycznych

Wykresy funkcji odwrotnych trygonometrycznych są odbiciami względem prostej $y = x$, ale dopiero po ograniczeniu oryginalnej funkcji trygonometrycznej do przedziału, na którym jest różnowartościowa.

Na przykład $y = \arcsin x$ jest odbiciem wykresu ograniczonej funkcji sinus

$$y = \sin x \quad \text{dla} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

względem prostej $y = x$.

Ta sama idea daje następujące pary:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{dla} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{dla} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Nie odbijaj pełnego, okresowego wykresu sinusa, cosinusa ani tangensa. Pełny wykres nie przechodzi testu prostej poziomej, więc nie może mieć funkcji odwrotnej.

Jeden rozwiązany przykład z zakresem głównym

Oblicz

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Szukamy kąta $y$, dla którego $\cos y = -\frac{1}{2}$. Takich kątów jest wiele, ale $\arccos x$ musi zwrócić kąt z zakresu głównego

$$0 \le y \le \pi$$

W tym przedziale poprawnym kątem jest $y = \frac{2\pi}{3}$, więc

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

To najważniejszy nawyk, który warto wyrobić: nie pytaj o dowolny kąt, który pasuje. Pytaj o kąt z właściwego przedziału.

Typowe błędy przy funkcjach odwrotnych trygonometrycznych

Najczęstszy błąd to mylenie funkcji odwrotnych trygonometrycznych z funkcjami odwrotnościowymi. $\arcsin x$ to nie to samo co $\csc x$, a $\sin^{-1} x$ zwykle oznacza funkcję odwrotną do sinusa, a nie $1/\sin x$.

Inny częsty błąd to ignorowanie zakresu głównego. Na przykład $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, ale

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

ponieważ $\frac{\pi}{6}$ jest kątem należącym do dozwolonego zakresu dla $\arcsin x$.

Uczniowie czasem zapominają też o dziedzinie. Wyrażenia takie jak $\arcsin 2$ i $\arccos(-3)$ nie mają wartości rzeczywistych, ponieważ sinus i cosinus nie przyjmują wartości spoza $[-1,1]$.

Kiedy używa się funkcji odwrotnych trygonometrycznych

Funkcje odwrotne trygonometryczne pojawiają się wszędzie tam, gdzie znamy iloraz i chcemy odzyskać kąt. Dzieje się tak w geometrii trójkątów prostokątnych, nawigacji, zadaniach o nachyleniu i kierunku, składowych wektorów oraz modelowaniu opartym na trójkątach.

Są też ważne w rachunku różniczkowym i całkowym. Pojawiają się we wzorach na pochodne, w całkach nieoznaczonych takich jak $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ oraz w podstawieniach z wyrażeniami trygonometrycznymi.

2-etapowy sposób myślenia o nich

Gdy obliczasz wyrażenie z funkcją odwrotną trygonometryczną, wykonaj dwa sprawdzenia:

1. Która funkcja trygonometryczna odpowiada podanej wartości?
2. Jaki jest kąt z zakresu głównego tej funkcji?

Jeśli będziesz pamiętać o tych dwóch krokach jednocześnie, wzory i wykresy staną się dużo łatwiejsze do zrozumienia.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj obliczyć $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ oraz $\arctan(1)$. Jeśli najpierw wybierzesz zakres główny, oba wyniki szybko staną się jasne.