Sin, Cos, Tan — wyjaśnienie

Sinus, cosinus i tangens porównują długości boków względem jednego wybranego kąta w trójkącie prostokątnym. Jeśli rozumiesz, który bok jest przeciwległy, przyległy i który jest przeciwprostokątną, z tych trzech ilorazów korzysta się znacznie łatwiej.

Jeśli $\theta$ jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

To właśnie idea stojąca za SOHCAHTOA. Ten skrót pomaga, ale najważniejsze jest coś prostszego: każda funkcja trygonometryczna jest ilorazem związanym z jednym kątem, a nie własnością pojedynczego boku samego w sobie.

Co oznaczają sin, cos i tan w trójkącie prostokątnym

Wybierz jeden kąt ostry $\theta$ w trójkącie prostokątnym.

• Bok przeciwległy leży naprzeciwko $\theta$.
• Bok przyległy leży przy $\theta$, ale nie jest przeciwprostokątną.
• Przeciwprostokątna to najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.

Gdy te oznaczenia są już ustalone, ilorazy trygonometryczne pokazują różne porównania.

• $\sin \theta$ porównuje bok przeciwległy z przeciwprostokątną.
• $\cos \theta$ porównuje bok przyległy z przeciwprostokątną.
• $\tan \theta$ porównuje bok przeciwległy z przyległym.

Jeśli przejdziesz do drugiego kąta ostrego, boki przeciwległy i przyległy też się zamienią. Dlatego ten sam trójkąt daje różne wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla swoich dwóch kątów ostrych.

Jeszcze jeden przydatny fakt: dla ustalonego kąta te ilorazy pozostają takie same, nawet jeśli trójkąt zostanie powiększony albo pomniejszony. Trójkąty podobne zachowują te same ilorazy związane z kątem.

Przykład z trójkątem 3-4-5

Załóżmy, że trójkąt prostokątny ma boki długości $3$, $4$ i $5$. Niech $\theta$ będzie kątem ostrym leżącym naprzeciw boku długości $3$.

Wtedy:

• przeciwległy $= 3$
• przyległy $= 4$
• przeciwprostokątna $= 5$

Zatem

$$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$$

Ten przykład dobrze pokazuje schemat. Sinus i cosinus oba wykorzystują przeciwprostokątną. Tangens nie; porównuje dwie przyprostokątne, więc często jest przydatny, gdy chcesz ocenić stromość.

Kiedy używać sinusa, cosinusa lub tangensa

Używaj tych ilorazów, gdy zadanie łączy kąt z długościami boków w trójkącie prostokątnym.

• Użyj $\sin \theta$, gdy interesują cię bok przeciwległy i przeciwprostokątna.
• Użyj $\cos \theta$, gdy interesują cię bok przyległy i przeciwprostokątna.
• Użyj $\tan \theta$, gdy interesują cię bok przeciwległy i przyległy.

Jeśli znasz jeden bok i jeden kąt ostry, trygonometria często pozwala wyznaczyć inny bok. Jeśli znasz ilorazy boków, funkcje odwrotne trygonometryczne mogą pomóc odtworzyć kąt.

Jak okrąg jednostkowy rozszerza tę samą ideę

Powyższe definicje z trójkąta prostokątnego stosują się bezpośrednio do kątów ostrych w takim trójkącie. Dla kątów większych niż $90^\circ$, kątów ujemnych lub pełnych obrotów trygonometria rozszerza te same funkcje za pomocą okręgu jednostkowego.

Na okręgu jednostkowym punkt odpowiadający kątowi $\theta$ ma postać

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

a tangens nadal jest ilorazem

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

gdy $\cos \theta \ne 0$.

Zatem na okręgu jednostkowym cosinus jest współrzędną $x$, a sinus współrzędną $y$. Dlatego te same nazwy funkcji trygonometrycznych działają także wtedy, gdy nie rysujemy żadnego trójkąta prostokątnego.

Typowe błędy przy sin, cos i tan

Jednym z częstych błędów jest mylenie boku przeciwległego z przyległym. Te nazwy mają sens dopiero po wybraniu kąta.

Innym częstym błędem jest traktowanie SOHCAHTOA tak, jakby obejmowało każde zadanie z trygonometrii. Ten skrót dotyczy definicji w trójkącie prostokątnym. Jeśli zadanie używa kątów ogólnych, zwykle lepszym modelem jest okrąg jednostkowy.

Uczniowie czasem też zapominają, że tangens jest ilorazem, a nie długością boku. W trójkącie porównuje przyrost pionowy do poziomego.

Kolejnym błędem jest założenie, że tangens zawsze istnieje. W ujęciu okręgu jednostkowego $\tan \theta$ jest nieokreślony, gdy $\cos \theta = 0$.

Gdzie pojawiają się sinus, cosinus i tangens

Są szczególnie częste w:

• zadaniach z trójkątem prostokątnym
• nachyleniu i kierunku
• ruchu po okręgu i falach
• geometrii analitycznej i okręgu jednostkowym

Jeśli zadanie dotyczy trójkąta prostokątnego, zacznij od spojrzenia na ilorazy boków. Jeśli dotyczy kątów wokół okręgu, zacznij od ujęcia z okręgiem jednostkowym.

Spróbuj podobnego zadania

Weź ten sam trójkąt $3$-$4$-$5$ i przejdź do drugiego kąta ostrego. Nadaj na nowo oznaczenia bokom przeciwległemu i przyległemu, a potem ponownie oblicz $\sin \theta$, $\cos \theta$ i $\tan \theta$. To szybkie sprawdzenie pokazuje, dlaczego ilorazy trygonometryczne zależą od wybranego kąta.