Tożsamości trygonometryczne: najważniejsze wzory, pomysły na dowody i przykład

Tożsamości trygonometryczne to wzory z funkcjami $\sin$, $\cos$, $\tan$ i funkcjami pokrewnymi, które są prawdziwe dla każdego kąta, dla którego obie strony są określone. Jeśli szukasz standardowych tożsamości trygonometrycznych używanych w algebrze, pre-calculus i na początku analizy matematycznej, podstawowa lista obejmuje tożsamości odwrotnościowe, ilorazowe, pitagorejskie, parzystości i nieparzystości, kofunkcyjne, sumy i różnicy, podwójnego kąta oraz połowy kąta.

Najszybciej można je zapamiętać, grupując je według zastosowania. Niektóre przepisują jedną funkcję trygonometryczną za pomocą innej, niektóre łączą $\sin \theta$ i $\cos \theta$, a inne zmieniają kąt z $\theta$ na $2\theta$ lub $\theta/2$.

Co sprawia, że równanie jest tożsamością trygonometryczną?

Tożsamość jest prawdziwa dla każdego kąta z jej dziedziny. Na przykład

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

jest tożsamością, ponieważ zachodzi dla każdego $\theta$.

Natomiast

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

nie jest tożsamością. Jest prawdziwe tylko dla wybranych kątów.

Warunek dotyczący dziedziny ma znaczenie. Na przykład

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

jest prawdziwe tylko wtedy, gdy $\cos \theta \neq 0$.

Lista podstawowych tożsamości trygonometrycznych

Tożsamości odwrotnościowe

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Każdy z tych wzorów wymaga, aby mianownik był różny od zera.

Tożsamości ilorazowe

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Często są one pierwszym krokiem w zadaniach na upraszczanie, ponieważ przepisują wszystko za pomocą $\sin$ i $\cos$.

Tożsamości pitagorejskie

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Pierwsza tożsamość jest źródłem dwóch pozostałych.

Tożsamości parzystości i nieparzystości

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Ten sam schemat dotyczy funkcji odwrotnościowych: $\csc$ i $\cot$ są nieparzyste, a $\sec$ jest parzysta.

Tożsamości kofunkcyjne

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Wynikają one z kątów dopełniających się.

Tożsamości sumy i różnicy

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

W przypadku wzorów na tangens mianownik musi być różny od zera.

Tożsamości podwójnego kąta

Przyjmij $\alpha = \beta = \theta$ we wzorach na sumę kątów.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Wersja dla tangensa również wymaga warunku $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Tożsamości połowy kąta

Powstają one przez przekształcenie wzorów podwójnego kąta.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Dla kąta zapisanego jako $\theta/2$ postacie z pierwiastkiem mają postać

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Znak zależy od ćwiartki, w której leży $\theta/2$, więc nie można bezmyślnie pomijać $\pm$.

Skąd biorą się główne tożsamości trygonometryczne

Okrąg jednostkowy daje pierwszą tożsamość pitagorejską

Na okręgu jednostkowym punkt odpowiadający kątowi $\theta$ ma współrzędne $(\cos \theta, \sin \theta)$. Ponieważ każdy punkt na tym okręgu spełnia równanie $x^2 + y^2 = 1$, po podstawieniu $x = \cos \theta$ i $y = \sin \theta$ otrzymujemy

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

To jest podstawowa tożsamość pitagorejska.

Pozostałe tożsamości pitagorejskie wynikają z dzielenia

Jeśli $\cos \theta \neq 0$, podziel

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

przez $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Jeśli $\sin \theta \neq 0$, podzielenie przez $\sin^2 \theta$ daje

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Tożsamości podwójnego kąta wynikają ze wzorów na sumę kątów

Zacznij od

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

i przyjmij $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Tożsamości podwójnego kąta dla cosinusa i tangensa wyprowadza się w ten sam sposób.

Przykład rozwiązany: uprość wyrażenie z podwójnym kątem

Uprość

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

dla kątów, dla których wyjściowe wyrażenie jest określone.

Użyj tożsamości podwójnego kąta:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

oraz

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Teraz podstaw:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Ten wniosek jest poprawny tylko tam, gdzie pierwotny mianownik jest różny od zera, czyli gdy $\sin(2\theta) \neq 0$. Ten warunek ma znaczenie, ponieważ skracanie czynnika może ukryć wartości, które były wykluczone na początku.

Najczęstsze błędy przy tożsamościach trygonometrycznych

Pomijanie ograniczeń dziedziny to błąd, który sprawia najwięcej problemów. Dzielenie przez $\sin \theta$ lub $\cos \theta$ jest poprawne tylko wtedy, gdy ta wielkość nie jest równa zeru.

Innym częstym błędem jest pomijanie $\pm$ we wzorach połowy kąta. Sam pierwiastek nie wyznacza znaku wartości funkcji trygonometrycznej.

Uczniowie mylą też $\sin^2 \theta$ z $\sin(\theta^2)$. Zapis $\sin^2 \theta$ oznacza $(\sin \theta)^2$.

Kiedy używa się tożsamości trygonometrycznych

Tożsamości trygonometryczne pojawiają się wszędzie tam, gdzie trzeba przekształcić wyrażenie do bardziej użytecznej postaci. Obejmuje to upraszczanie zadań domowych, dowodzenie równości dwóch wyrażeń, rozwiązywanie równań trygonometrycznych oraz przygotowanie do działów analizy matematycznej, takich jak całkowanie.

W praktyce wiele zadań staje się łatwiejszych, gdy wszystko zostanie zapisane za pomocą $\sin \theta$ i $\cos \theta$.

Spróbuj podobnego zadania

Uprość

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

używając tożsamości podwójnego kąta i pamiętając o warunku dziedziny wynikającym z wyjściowego wyrażenia. Jeśli chcesz zrobić jeszcze jeden krok, porównaj swój wynik z $\tan \theta$.