Rodzaje liczb — naturalne, całkowite nieujemne, całkowite, wymierne, niewymierne

Rodzaje liczb mówią, z jakim typem liczby masz do czynienia: naturalną, całkowitą nieujemną, całkowitą, wymierną czy niewymierną. Główna idea jest prosta: niektóre zbiory zawierają się w większych, więc jedna liczba może jednocześnie należeć do kilku kategorii.

Od razu ważny jest jeden szczegół: w niektórych podręcznikach $0$ zalicza się do liczb naturalnych, a w innych nie. Liczby całkowite nieujemne zwykle oznaczają $0, 1, 2, 3, \dots$, więc to właśnie $0$ najczęściej zależy od przyjętej konwencji.

Jak Te Zbiory Liczb Są Ze Sobą Powiązane

Typowy obraz dla liczb rzeczywistych to:

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

Liczby niewymierne też są liczbami rzeczywistymi, ale nie są wymierne. Dlatego liczby rzeczywiste dzielą się na dwie grupy: wymierne i niewymierne.

Właśnie dlatego jedna liczba może mieć kilka etykiet. Na przykład $4$ jest naturalna, całkowita nieujemna, całkowita i wymierna, ponieważ $4 = 4/1$.

Liczby Naturalne, Całkowite Nieujemne, Całkowite, Wymierne I Niewymierne

Liczby Naturalne

Liczby naturalne to liczby służące do liczenia. Na wielu kursach oznacza to

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

Na niektórych kursach uwzględnia się też $0$. Jeśli na zajęciach lub w podręczniku nie jest to podane, sprawdź to przed zaklasyfikowaniem $0$ jako liczby naturalnej.

Liczby Całkowite Nieujemne

Liczby całkowite nieujemne to zwykle

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

Liczby całkowite nieujemne zawierają zero, ale nie obejmują liczb ujemnych ani ułamków.

Liczby Całkowite

Liczby całkowite obejmują ujemne liczby całkowite nieujemne, zero i dodatnie liczby całkowite nieujemne:

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

Liczba całkowita nie ma części ułamkowej, więc $-7$ i $0$ są liczbami całkowitymi, ale $3/2$ już nie.

Liczby Wymierne

Liczba wymierna to każda liczba, którą można zapisać w postaci

$$\frac{a}{b}$$

gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi oraz $b \ne 0$.

Obejmuje to ułamki takie jak $\frac{3}{4}$, liczby całkowite takie jak $-2$, ponieważ $-2 = -2/1$, oraz rozwinięcia dziesiętne skończone lub okresowe, takie jak $0.5$ i $0.333\dots$.

Liczby Niewymierne

Liczby niewymiernej nie da się zapisać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych.

Dla liczb rzeczywistych oznacza to, że jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. Typowe przykłady to $\sqrt{2}$ i $\pi$.

Przykład: Jak Klasyfikować Liczbę

Spójrz na reprezentatywne przykłady, aby szybko zauważyć schemat:

Number	Classification	Why
$0$	całkowita nieujemna, całkowita, wymierna	$0 = 0/1$, więc jest wymierna. Jest też całkowita nieujemna i całkowita. Jest naturalna tylko wtedy, gdy na twoim kursie $0$ należy do liczb naturalnych.
$-3$	całkowita, wymierna	Nie ma części ułamkowej, więc jest liczbą całkowitą. Ponadto $-3 = -3/1$, więc jest wymierna.
$\frac\{7\}\{4\}$	wymierna	Jest już zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych z niezerowym mianownikiem, więc jest wymierna, ale nie jest całkowita.
$\sqrt\{2\}$	niewymierna	Nie da się jej zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych, więc jest niewymierna.

To pokazuje główną ideę: klasyfikacja zależy od tego, czy liczba spełnia definicję, a nie od tego, jak skomplikowanie wygląda.

Szybki Test Dla Rozwinięć Dziesiętnych

Jeśli rozwinięcie dziesiętne jest skończone, liczba jest wymierna. Na przykład

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

Jeśli rozwinięcie dziesiętne jest okresowe, liczba także jest wymierna. Na przykład

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

Jeśli rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej nie jest ani skończone, ani okresowe, liczba jest niewymierna.

Ten test działa tylko wtedy, gdy znasz wzór. Liczba dziesiętna, która po prostu wygląda na długą, nie jest automatycznie niewymierna.

Częste Błędy Dotyczące Rodzajów Liczb

Zakładanie, Że $0$ Zawsze Jest Naturalne

Różne podręczniki stosują różne konwencje. Jeśli zadanie pyta, czy $0$ jest naturalne, sprawdź używaną definicję.

Zapominanie, Że Liczby Całkowite Są Liczbami Wymiernymi

Uczniowie czasem zbyt mocno oddzielają liczby całkowite od wymiernych. Każda liczba całkowita jest wymierna, ponieważ zawsze można ją zapisać nad $1$.

Myślenie, Że Każdy Pierwiastek Kwadratowy Jest Niewymierny

Niektóre są niewymierne, ale nie wszystkie. Na przykład $\sqrt{2}$ jest niewymierna, ale $\sqrt{9} = 3$ jest wymierna.

Zakładanie, Że Długie Rozwinięcie Dziesiętne Musi Być Niewymierne

Długość nie jest tu testem. Prawdziwe pytanie brzmi, czy rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe.

Kiedy Używa Się Liczb Naturalnych, Całkowitych Nieujemnych, Całkowitych, Wymiernych I Niewymiernych

Te kategorie pojawiają się przy rozwiązywaniu równań, opisywaniu zbiorów rozwiązań, wybieraniu dozwolonych danych wejściowych i odczytywaniu osi liczbowych. Jeśli zadanie wymaga rozwiązań całkowitych, $\frac{5}{2}$ odpada od razu, mimo że jest liczbą wymierną.

Są też ważne dlatego, że działania nie zawsze pozostawiają wynik w tym samym zbiorze. Na przykład liczby naturalne pozostają naturalne przy dodawaniu, ale nie zawsze przy odejmowaniu.

Spróbuj Podobnej Klasyfikacji

Spróbuj sklasyfikować $5$, $-1$, $0.25$ i $\sqrt{9}$. Za każdym razem zadawaj te same pytania: czy to liczba służąca do liczenia, czy obejmuje zero, czy ma część ułamkową, czy da się ją zapisać jako $a/b$, czy też nie spełnia tego warunku?