Liczby całkowite — działania i oś liczbowa

Liczby całkowite to dodatnie liczby całkowite, ujemne liczby całkowite oraz $0$: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Nie obejmują ułamków ani liczb dziesiętnych.

Jeśli chcesz poznać szybki zestaw zasad, zacznij od dwóch pomysłów. Na osi liczbowej znak pokazuje kierunek względem $0$, a wartość pokazuje odległość od $0$. Przy mnożeniu i dzieleniu te same znaki dają wynik dodatni, a różne znaki dają wynik ujemny.

Co oznaczają liczby całkowite na osi liczbowej

Oś liczbowa ułatwia odczytywanie liczb całkowitych. Dodatnie liczby całkowite leżą na prawo od $0$, ujemne liczby całkowite na lewo, a liczby bardziej oddalone od $0$ mają większą odległość od zera.

Na przykład $4$ leży cztery jednostki na prawo od $0$, a $-4$ cztery jednostki na lewo. Mają tę samą odległość od zera, ale przeciwne kierunki.

Dlatego liczby całkowite są przydatne do opisu zysków i strat, temperatur powyżej lub poniżej zera, wysokości oraz położenia w poziomie.

Zasady działań na liczbach całkowitych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie

Przy dodawaniu i odejmowaniu myśl o ruchu na osi liczbowej:

• Dodanie dodatniej liczby całkowitej oznacza ruch w prawo.
• Dodanie ujemnej liczby całkowitej oznacza ruch w lewo.
• Odjęcie liczby całkowitej oznacza dodanie liczby przeciwnej.

Przykład:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Przy mnożeniu i dzieleniu użyj zasady znaków:

• Te same znaki dają wynik dodatni.
• Różne znaki dają wynik ujemny.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Jeden warunek jest tu ważny. Dzielenie przez $0$ jest niezdefiniowane, a dzielenie przez niezerową liczbę całkowitą nie zawsze pozostaje w zbiorze liczb całkowitych. Na przykład

$$7 \div 2 = 3.5$$

Iloraz jest liczbą rzeczywistą, ale nie jest liczbą całkowitą.

Przykład rozwiązany: oblicz $-2 + 7 - 4$

Zastosuj krok po kroku pomysł z osią liczbową:

$$-2 + 7 - 4$$

Zacznij od $-2$. Dodanie $7$ oznacza przesunięcie o $7$ jednostek w prawo:

$$-2 + 7 = 5$$

Teraz odejmij $4$. To oznacza przesunięcie o $4$ jednostki w lewo:

$$5 - 4 = 1$$

Zatem

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

To jest główny schemat dodawania i odejmowania liczb całkowitych: odczytaj znak jako kierunek, a potem śledź przesunięcie.

Typowe błędy w działaniach na liczbach całkowitych

Mylenie liczb całkowitych z liczbami naturalnymi

Liczby naturalne obejmują $0, 1, 2, 3, \ldots$, ale liczby całkowite obejmują także ich ujemne odpowiedniki. Dlatego $-5$ jest liczbą całkowitą, ale nie jest liczbą naturalną.

Zapominanie, że odejmowanie zmienia kierunek

W wyrażeniu $3 - (-2)$ odejmujesz liczbę ujemną, co oznacza dodawanie liczby dodatniej:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Zakładanie, że dzielenie zawsze daje liczbę całkowitą

Zbiór liczb całkowitych jest domknięty ze względu na dodawanie, odejmowanie i mnożenie, ale nie ze względu na dzielenie. To znaczy, że dzielenie dwóch liczb całkowitych może dać wartość, która nie jest liczbą całkowitą.

Gdzie używa się liczb całkowitych

Liczby całkowite pojawiają się w arytmetyce, na układach współrzędnych, w algebrze, księgowości, przy temperaturach, wysokościach i w informatyce. Często są pierwszym systemem liczbowym, w którym znaczenie ma nie tylko wielkość, ale też kierunek.

Gdy liczby całkowite staną się naturalne na osi liczbowej, późniejsze tematy, takie jak wartość bezwzględna, nierówności i wyrażenia algebraiczne, stają się dużo łatwiejsze do odczytania.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj rozwiązać na własnej osi liczbowej: $-6 + 9$, $4 - 11$ oraz $(-5)(-2)$. Jeśli chcesz sprawdzić dłuższe wyrażenie po obliczeniu go ręcznie, wypróbuj własny przykład w solverze i porównaj każdą zmianę znaku.