Systemy liczbowe - binarny, ósemkowy, szesnastkowy

System binarny, ósemkowy i szesnastkowy to systemy pozycyjne. Różnią się podstawą. System binarny ma podstawę $2$, ósemkowy $8$, a szesnastkowy $16$. Gdy zrozumiesz ten pomysł, symbole przestają wyglądać tajemniczo.

W każdym pozycyjnym systemie liczbowym każda pozycja jest potęgą podstawy. W systemie o podstawie $10$ kolejne pozycje to $1$, $10$, $100$ i tak dalej. W systemie o podstawie $2$ są to $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ i tak dalej. Ta sama zasada działa dla każdej podstawy.

Jakich cyfr używa każdy system

System binarny używa tylko cyfr $0$ i $1$.

System ósemkowy używa cyfr od $0$ do $7$.

System szesnastkowy używa $16$ symboli: od $0$ do $9$, a następnie $A$ do $F$ dla wartości od $10$ do $15$.

To oznacza, że jedna cyfra szesnastkowa może zawierać więcej informacji niż jedna cyfra binarna, ponieważ jedna pozycja szesnastkowa liczy w potęgach $16$, a nie w potęgach $2$.

Główna intuicja

Liczba nie zmienia swojej wartości tylko dlatego, że zapiszesz ją w innej podstawie. Zmienia się jedynie sposób zapisu.

Na przykład liczba $45$ w systemie o podstawie $10$ nadal oznacza tę samą wielkość, niezależnie od tego, czy zapiszesz ją binarnie, ósemkowo czy szesnastkowo. Różne podstawy są jak różne języki opisujące tę samą ilość.

Jeden mocny przykład: zapisz $45$ binarnie, ósemkowo i szesnastkowo

Zacznij od systemu o podstawie $10$.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

To są potęgi liczby $2$:

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

Dlatego zapis binarny ma cyfry $1$ na pozycjach $2^5$, $2^3$, $2^2$ i $2^0$:

$$45_{10} = 101101_2$$

Teraz użyj zapisu binarnego, aby otrzymać zapis ósemkowy. Ponieważ $8 = 2^3$, grupuj cyfry binarne po $3$, zaczynając od prawej strony:

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

Każda grupa staje się jedną cyfrą ósemkową:

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

Zatem

$$45_{10} = 55_8$$

Teraz wyznacz zapis szesnastkowy. Ponieważ $16 = 2^4$, grupuj cyfry binarne po $4$, zaczynając od prawej strony. W razie potrzeby dodaj zera z przodu:

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

Następnie zamień każdą grupę:

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

Zatem

$$45_{10} = 2D_{16}$$

Wszystkie trzy zapisy oznaczają tę samą wartość:

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

Typowe błędy

Jednym z częstych błędów jest zapominanie, że podstawa zmienia wartości pozycyjne. Ciąg $101$ nie oznacza tego samego w systemie o podstawie $2$, $8$ i $10$.

Innym błędem jest używanie cyfr, których dana podstawa nie dopuszcza. Na przykład cyfra $2$ nie może wystąpić w liczbie binarnej, a cyfra $8$ nie może wystąpić w liczbie ósemkowej.

Uczniowie często też błędnie grupują cyfry binarne przy zamianie na system ósemkowy lub szesnastkowy. Grupuj od prawej strony i dodawaj zera z przodu, jeśli potrzebujesz pełnej grupy.

Kiedy używa się tych systemów liczbowych

System binarny jest podstawowym językiem systemów cyfrowych, ponieważ przełączniki naturalnie mają dwa stany. System ósemkowy i szesnastkowy to zwięzłe sposoby zapisywania długich ciągów binarnych.

Nie musisz znać informatyki, aby zrozumieć tę ideę matematyczną. Te systemy są nadal wartościowe, ponieważ uczą podstawowej zasady stojącej za każdym zapisem pozycyjnym: wartość zależy od podstawy i od pozycji.

Spróbuj podobnej zamiany

Spróbuj zamienić $58_{10}$ na zapis binarny, ósemkowy i szesnastkowy. Najpierw zapisz tę liczbę jako sumę potęg liczby $2$, a potem pogrupuj cyfry binarne, aby otrzymać pozostałe dwa zapisy.