Kolejność działań — zasady PEMDAS / BODMAS

Kolejność działań mówi, co zrobić najpierw w wyrażeniu matematycznym, aby każdy otrzymał ten sam wynik. Dla PEMDAS lub BODMAS zasada jest taka: najpierw upraszczamy symbole grupujące, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a na końcu dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

Jeśli masz zapamiętać tylko jedną rzecz, zapamiętaj to: mnożenie i dzielenie mają ten sam poziom pierwszeństwa, a dodawanie i odejmowanie także mają ten sam poziom. W obrębie każdego poziomu idziesz od lewej do prawej.

PEMDAS i BODMAS oznaczają tę samą zasadę

PEMDAS oznacza Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. BODMAS używa Brackets i Orders zamiast Parentheses i Exponents. Zasada stojąca za tymi skrótami jest taka sama.

Najbardziej myląca jest środkowa część akronimu. Mnożenie i dzielenie to jeden poziom pierwszeństwa, więc wykonujesz to działanie, które pojawia się wcześniej od lewej. Dodawanie i odejmowanie to również jeden poziom pierwszeństwa, więc znów liczysz od lewej do prawej.

To znaczy, że PEMDAS nie mówi „zawsze mnożenie przed dzieleniem”. Mówi raczej: „wykonaj etap mnożenia lub dzielenia po kolei”.

Kolejność działań w 4 krokach

1. Uprość to, co jest wewnątrz symboli grupujących, takich jak nawiasy.
2. Oblicz potęgi.
3. Wykonaj mnożenie i dzielenie od lewej do prawej.
4. Wykonaj dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

Jeśli symbole grupujące są zagnieżdżone, zacznij od części najbardziej wewnętrznej i przechodź na zewnątrz. Kreska ułamkowa też działa jak grupowanie, ponieważ cały licznik i mianownik pozostają razem.

Przykład: zastosuj PEMDAS krok po kroku

Oblicz

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2$$

Zacznij od nawiasów:

$$24 / 3 \times 4 - 2^2$$

Teraz oblicz potęgę:

$$24 / 3 \times 4 - 4$$

Następnie wykonaj dzielenie i mnożenie od lewej do prawej:

$$24 / 3 = 8$$

więc wyrażenie ma postać

$$8 \times 4 - 4$$

Potem pomnóż:

$$32 - 4$$

Na końcu odejmij:

$$28$$

Zatem

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2 = 28$$

Ten przykład dobrze pokazuje główną pułapkę. Gdybyś najpierw obliczył $3 \times 4$, złamałbyś zasadę od lewej do prawej na etapie mnożenia i dzielenia.

Typowe błędy w kolejności działań

Jednym z częstych błędów jest traktowanie PEMDAS jak ścisłej drabiny od góry do dołu. W $20 / 5 \times 2$ najpierw dzielisz, ponieważ to działanie pojawia się wcześniej od lewej, więc wynik to $8$, a nie $2$.

Innym błędem jest traktowanie dodawania tak, jakby zawsze musiało być przed odejmowaniem, albo odejmowania przed dodawaniem. W $10 - 3 + 1$ liczysz od lewej do prawej i otrzymujesz $8$.

Uczniowie często też pomijają krok przepisania wyrażenia. Wtedy łatwo zgubić znak, przeoczyć potęgę albo wykonać działanie zbyt wcześnie. Ponowne zapisanie wyrażenia po każdym etapie zajmuje kilka sekund, ale zapobiega wielu błędom.

Kiedy używa się tej zasady

Kolejności działań używasz zawsze wtedy, gdy w wyrażeniu występują różne działania. Dotyczy to szkolnej arytmetyki, algebry, wzorów w naukach ścisłych, obliczeń w arkuszach kalkulacyjnych i wpisywania działań do kalkulatora.

Języki programowania także używają priorytetu operatorów, ale dokładne symbole mogą się różnić w zależności od języka lub narzędzia. Główna idea jest taka sama: niektóre działania są grupowane przed innymi, aby wyrażenia były interpretowane w spójny sposób.

Szybkie sprawdzenie przed przejściem dalej

Po zakończeniu zadaj sobie dwa pytania:

1. Czy usunąłem symbole grupujące i obliczyłem potęgi przed działaniami podstawowymi?
2. Czy na etapie mnożenia lub dzielenia oraz na etapie dodawania lub odejmowania szedłem od lewej do prawej?

Jeśli na oba pytania odpowiadasz „tak”, to struktura rozwiązania jest prawdopodobnie poprawna.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć

$$30 / 5 \times (2 + 1) + 3^2$$

Rozwiązuj je etapami i sprawdź, czy dzielisz przed mnożeniem. Jeśli potem chcesz zweryfikować swoje kroki, wypróbuj własną wersję w solverze i porównaj linie pośrednie, a nie tylko końcowy wynik.