정비례와 반비례 — 공식과 예제

정비례는 두 양이 같은 배수로 변해서 비가 일정하게 유지되는 관계를 말합니다. 반비례는 한 양이 증가할 때 다른 양이 감소하면서 곱이 일정하게 유지되는 관계를 말합니다. 간단히 말해, 정비례는 $y = kx$, 반비례는 $y = \frac{k}{x}$를 사용합니다.

정비례와 반비례 한눈에 보기

두 양이 정비례라면 한쪽을 두 배로 하면 다른 쪽도 두 배가 됩니다. 두 양이 반비례라면 한쪽을 두 배로 하면 다른 쪽은 절반이 됩니다.

표준 공식은 다음과 같습니다.

$$y = kx$$

정비례일 때이고,

$$y = \frac{k}{x}$$

반비례일 때입니다. 여기서 $k$는 상수이고 $x \ne 0$입니다.

가장 빠르게 판별하는 방법은 다음과 같습니다.

• 정비례: $\frac{y}{x}$가 일정하다.
• 반비례: $xy$가 일정하다.

정비례의 뜻

정비례에서는 한 양이 항상 다른 양의 일정한 배수입니다. 펜 한 자루의 가격이 $2$달러라면 총비용 $C$는 펜의 개수 $n$에 정비례합니다.

$$C = 2n$$

여기서 비례상수는 $k = 2$입니다. 단가가 같게 유지되는 한, 비 $\frac{C}{n}$는 항상 $2$입니다.

이 조건은 중요합니다. 고정 배송비가 있거나 대량 구매 할인이 적용되면 이 관계는 더 이상 정비례가 아닙니다.

반비례의 뜻

반비례에서는 비가 아니라 곱이 일정하게 유지됩니다. 대표적인 예는 같은 일을 할 때의 작업 시간과 작업자 수입니다. 단, 모든 작업자가 같은 속도로 일하고 협업으로 인한 손실은 없다고 가정합니다.

작업자 수를 $w$, 시간을 $t$라고 하면

$$wt = k$$

입니다.

따라서 작업자 수를 두 배로 늘리면 시간은 절반으로 줄어듭니다.

이것은 전체 작업량이 일정하고 모든 작업자의 효율이 같을 때만 반비례 모델이 됩니다. 실제 프로젝트에서는 작업자를 더 투입해도 시간이 완벽하게 줄어들지는 않습니다.

풀이 예제: 정비례와 반비례

두 관계의 차이는 나란히 놓고 보면 더 쉽게 보입니다.

정비례 예제

고정된 가격으로 공책 $4$권의 가격이 $12$달러라고 합시다.

공책 한 권당 가격은

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

입니다.

따라서 정비례식은

$$C = 3n$$

입니다.

공책을 $7$권 사면

$$C = 3(7) = 21$$

이므로 공책 $7$권의 가격은 $21$달러입니다.

반비례 예제

이제 같은 일을 작업자 $4$명이 $6$시간 만에 끝낼 수 있다고 합시다. 모든 작업자의 작업 속도는 같고 전체 작업량도 같습니다.

일정한 곱은

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

입니다.

따라서 반비례식은

$$t = \frac{24}{w}$$

입니다.

작업자 $8$명이 일을 하면

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

이므로 이 일은 $3$시간이 걸립니다.

대비해서 보면 핵심은 다음과 같습니다.

• 정비례의 경우 비가 일정했습니다: $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$.
• 반비례의 경우 곱이 일정했습니다: $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$.

정비례와 반비례에서 자주 하는 실수

증가하는 관계를 모두 정비례로 착각하기

증가하는 관계라고 해서 모두 정비례는 아닙니다. 정비례가 되려면 비가 일정해야 하고, 식이 $y = kx$의 형태에 맞아야 합니다.

예를 들어 $y = x + 5$는 $x$가 증가하면 함께 증가하지만, $\frac{y}{x}$가 일정하지 않으므로 정비례가 아닙니다.

감소하는 관계를 모두 반비례로 착각하기

감소하는 관계라고 해서 모두 반비례는 아닙니다. 반비례가 되려면 곱이 일정해야 합니다.

예를 들어 $y = 10 - x$는 감소하지만, $xy$는 일정하지 않으므로 반비례가 아닙니다.

모델이 성립하는 조건을 무시하기

이 공식들은 상황이 단순하게 유지될 때만 성립합니다. 단가가 일정하면 정비례를 쓸 수 있습니다. 전체 작업량이 일정하고 작업자 속도가 같으면 반비례를 쓸 수 있습니다. 이 조건이 바뀌면 모델이 맞지 않을 수 있습니다.

정비례와 반비례가 쓰이는 곳

정비례는 일정한 가격의 물건 구매, 지도 축척, 단위 변환, 일정한 속력에서 이동한 거리 등에 나타납니다.

반비례는 일률 문제, 일정한 거리에서의 속력과 이동 시간, 그리고 어떤 양을 일정하게 유지하기 위해 다른 양이 줄어들어야 하는 간단한 물리 관계에 나타납니다.

두 경우 모두 핵심은 무엇이 일정한지를 알아차리는 것입니다.

관계가 정비례인지 반비례인지 판별하는 법

어떤 모델이 맞는지 확신이 없다면, 먼저 알려진 값의 한 쌍으로 확인해 보세요.

1. $\frac{y}{x}$를 계산합니다. 이것이 유효한 데이터들에서 같게 유지되면 정비례를 생각합니다.
2. $xy$를 계산합니다. 이것이 대신 같게 유지되면 반비례를 생각합니다.
3. 둘 다 일정하지 않다면, 그 관계는 아마 둘 다 아닙니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

각 예제에서 조건은 그대로 두고 숫자 하나만 바꿔 보세요. 공책 예제에서는 단가를 바꿔 보세요. 작업자 예제에서는 작업자 수를 바꾸고 곱이 여전히 일정한지 확인해 보세요.