비율 — 간단히 나타내기, 비교, 그리고 문장제

비율은 두 양을 정해진 순서로 비교하는 것입니다. 한 반에 여자 학생이 $12$ 명, 남자 학생이 $8$ 명 있다면 여자:남자의 비율은 $12:8$ 이고, 이는 $3:2$ 로 간단히 나타낼 수 있습니다.

그렇다고 여자 학생이 $3$ 명이고 남자 학생이 $2$ 명이라는 뜻은 아닙니다. 비교 관계가 같다는 뜻입니다. 즉, 여자 학생 $3$ 명마다 남자 학생이 $2$ 명 있다는 의미입니다.

수학에서 비율의 뜻

비율은 한 양이 다른 양과 어떤 관계에 있는지를 나타냅니다. $a:b$ 처럼 쓸 수 있고, "a 대 b"라고 읽을 수 있습니다. 또는 비교를 몫으로 볼 때는 $\frac{a}{b}$ 로 쓸 수도 있으며, 이때 $b \neq 0$ 이어야 합니다.

순서는 중요합니다. 비율 $3:2$ 는 $2:3$ 과 같지 않습니다. 첫 번째 수는 항상 먼저 말한 양을 가리키기 때문입니다.

비율은 두 양이 같은 종류의 것일 때 가장 잘 쓰입니다. 종류가 다르면 먼저 같은 단위로 바꿔야 합니다. $2$ 미터와 $50$ 센티미터를 비교하려면 먼저 변환합니다:

2 \text{ m} = 200 \text{ cm}

따라서 비율은

200:50 = 4:1

입니다.

비율을 간단히 나타내려면 두 항을 같은 공약수로 나눕니다. 분수를 약분하는 것과 비슷하지만, 비율의 형태는 그대로 유지합니다.

예를 들어,

12:8 = 3:2

입니다.

두 항 모두 $4$ 로 나누어떨어지기 때문입니다:

12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2

간단히 나타낸 비율도 같은 비교를 유지합니다. 읽기 쉬워질 뿐, 관계 자체는 바뀌지 않습니다.

두 수의 공약수가 $1$ 밖에 없다면 그 비율은 이미 가장 간단한 형태입니다.

어떤 물감 혼합에서 빨강과 파랑의 비율이 $2:3$ 이라고 합시다. 빨간 물감을 $10$ 컵 사용한다면, 파란 물감은 몇 컵이 필요할까요?

이 비율은 빨강 $2$ 부분마다 파랑이 $3$ 부분 있다는 뜻입니다.

빨강이 $2$ 부분에서 $10$ 컵이 되었으므로, 배수는 $5$ 입니다. 왜냐하면

2 \times 5 = 10

이기 때문입니다.

같은 배수를 파랑에도 적용합니다:

3 \times 5 = 15

따라서 파란 물감은 $15$ 컵이 필요합니다.

핵심은 두 항이 모두 같은 배수로 커지거나 작아져야 한다는 점입니다. 그래야 비율 $2:3$ 이 그대로 유지됩니다.

대부분의 비율 문장제는 다음 세 가지 중 하나를 묻습니다:

어떤 경우든 논리는 같습니다. 순서를 고정하고, 비교 관계를 일관되게 유지해야 합니다.

자주 하는 실수 중 하나는 부분과 부분의 비교, 부분과 전체의 비교를 헷갈리는 것입니다. 만약 남자:여자 = $2:3$ 이라면 전체 부분 수는 $5$ 이므로, 남자는 반 전체의 $\frac{2}{5}$ 이지 $\frac{2}{3}$ 이 아닙니다.

문제가 고양이:개의 비율을 묻는데 개:고양이로 쓰면, 숫자 자체는 맞아도 비율은 틀린 것입니다.

$1$ 시간과 $30$ 분을 $1:30$ 으로 비교하는 것은 단위가 다르므로 틀립니다. 먼저 바꿔야 합니다:

1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}

따라서 비율은

60:30 = 2:1

입니다.

$5:2$ 는 첫 번째 양이 항상 " $3$ 만큼 더 많다"는 뜻이 아닙니다. 비율은 곱셈적 비교이지, 단순한 차이를 나타내는 것이 아닙니다.

비율의 한쪽을 바꾸면 다른 쪽도 같은 배수로 바꿔야 합니다. 그렇지 않으면 비교 관계가 달라집니다.

비율은 요리법, 지도, 축척도, 혼합물, 교실에서의 수 비교, 그리고 동치 관계를 다루는 많은 대수 문제에서 등장합니다.

특히 중요한 질문이 "전체가 얼마인가?"가 아니라 "무엇에 비해 얼마인가?"일 때 매우 유용합니다.

어떤 간식 믹스에서 견과류와 건포도의 비율이 $4:1$ 입니다. 견과류가 $20$ 컵 있다면, 같은 혼합 비율을 유지하려면 건포도는 몇 컵이 필요할까요?

그다음 건포도:견과류의 비율을 써 보고, 순서를 제대로 뒤집었는지 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면 견과류를 $12$ 컵으로 바꿔서, 예제를 다시 보지 않고 한 번 더 풀어보세요.

문제를 올리면 검증된 단계별 풀이를 몇 초 만에 받을 수 있습니다.