대표적인 입체도형의 부피 공식

대표적인 입체도형의 부피 공식은 다음과 같습니다. 각기둥과 원기둥은 밑면의 넓이에 높이를 곱하고, 각뿔과 원뿔은 그 패턴의 $\frac{1}{3}$을 사용하며, 구는 반지름을 바탕으로 한 공식을 사용합니다. 이 구조를 이해하면 공식을 더 쉽게 이해하고 기억할 수 있습니다.

대표적인 입체도형의 부피 공식

입체도형	부피 공식	알아둘 점
직육면체	$V = lwh$	길이, 너비, 높이
정육면체	$V = s^3$	모든 모서리의 길이가 같다
모든 각기둥	$V = Bh$	$B$는 밑면의 넓이
원기둥	$V = \pi r^2 h$	밑면이 원이므로 $Bh$와 같은 형태
모든 각뿔	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	같은 밑면과 높이를 가진 각기둥의 $\frac\{1\}\{3\}$
원뿔	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	같은 밑면과 높이를 가진 원기둥의 $\frac\{1\}\{3\}$
구	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	높이가 아니라 반지름을 사용

각뿔과 원뿔에서 $h$는 수직 높이를 뜻합니다. 문제에서 모선이 주어졌다면, 그 값은 부피 공식에 바로 넣을 수 없습니다.

대부분의 부피 공식이 같은 패턴을 따르는 이유

가장 기본적인 생각은 이것입니다.

$$V = Bh$$

여기서 $B$는 밑면의 넓이이고, $h$는 그 밑면에서 수직으로 잰 높이입니다.

이 한 가지 패턴으로 여러 공식을 한꺼번에 설명할 수 있습니다. 직육면체는 밑면이 직사각형이므로 $B = lw$이고, 따라서 공식은 $V = lwh$가 됩니다. 원기둥은 밑면이 원이므로 $B = \pi r^2$이고, 따라서 공식은 $V = \pi r^2 h$가 됩니다.

각뿔과 원뿔도 같은 밑면과 높이의 개념을 쓰지만, 같은 밑면과 높이를 가진 각기둥이나 원기둥 부피의 $\frac{1}{3}$만 가집니다.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

구는 밑면 넓이 곱하기 높이의 패턴에 들어맞지 않는 대표적인 입체도형이므로, 공식을 따로 기억해 둘 가치가 있습니다.

예제: 원뿔의 부피 구하기

반지름이 $3$ cm이고 높이가 $8$ cm인 원뿔의 부피를 구해 봅시다.

원뿔의 공식을 사용합니다.

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

값을 대입하면,

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

정리하면,

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

따라서 부피는 $24\pi\ \text{cm}^3$이고, 근삿값으로는 약 $75.4\ \text{cm}^3$입니다.

이 예제가 유용한 이유는, 같은 반지름과 높이를 가진 원기둥의 부피가 $72\pi\ \text{cm}^3$이기 때문입니다. 원뿔의 부피는 정확히 그 $\frac{1}{3}$이므로, 계산이 맞는지 확인하는 좋은 기준이 됩니다.

부피 공식에서 자주 하는 실수

1. 공식에서 반지름을 써야 하는데 지름을 그대로 사용하는 경우. $d$가 주어졌다면 먼저 $r = \frac{d}{2}$로 바꾸세요.
2. 원뿔이나 각뿔에서 모선을 사용하는 경우. 부피에는 수직 높이를 사용합니다.
3. 겉넓이와 부피를 혼동하는 경우. 부피는 안에 들어 있는 공간의 양이지, 바깥을 덮는 넓이가 아닙니다.
4. 세제곱 단위를 빼먹는 경우. 부피는 $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$, $\text{in}^3$ 같은 단위로 써야 합니다.
5. $B$를 밑면의 넓이가 아니라 한 변의 길이로 생각하는 경우. $V = Bh$에서 $B$는 이미 넓이입니다.

부피 공식을 언제 사용하나요?

부피 공식은 입체도형의 용량이나 내부 크기를 알아야 할 때 사용합니다. 학교에서는 보통 기하 문제에서 이런 상황이 나옵니다. 학교 밖에서도 상자에 얼마나 들어가는지, 탱크에 액체가 얼마나 들어가는지, 용기 안을 재료가 얼마나 채우는지 등을 추정할 때 같은 개념이 쓰입니다.

다만 조건이 중요합니다. 공식의 정확도는 도형 모델이 실제 물체를 얼마나 잘 나타내는지에 달려 있습니다. 실제 물체가 원기둥이나 구와 완전히 같지 않고 대략 비슷한 정도라면, 결과도 근삿값이 됩니다.

직접 해 보기

반지름이 $4$단위이고 높이가 $10$단위인 원기둥을 하나 정해서 부피를 구해 보세요. 그다음 밑면과 높이는 그대로 두고 원뿔로 바꿔 보세요. 두 답을 나란히 비교해 보면 공식을 가장 빠르게 익히는 데 큰 도움이 됩니다.