겉넓이 — 모든 입체도형의 공식

겉넓이는 입체도형의 바깥쪽 전체 넓이입니다. 입체를 종이로 감싼다고 생각하면, 겉넓이는 그 종이가 얼마나 필요한지를 알려 줍니다.

공식은 도형의 종류와 어떤 부분을 포함하는지에 따라 달라집니다. 아래 공식들은 닫힌 입체도형을 기준으로 하므로, 바깥의 모든 면이나 곡면을 모두 포함합니다.

자주 쓰는 입체도형의 겉넓이 공식

한 변의 길이가 $a$인 정육면체:

$$SA = 6a^2$$

길이 $l$, 너비 $w$, 높이 $h$인 직육면체:

$$SA = 2(lw + lh + wh)$$

반지름이 $r$, 높이가 $h$인 원기둥:

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$$

반지름이 $r$인 구:

$$SA = 4\pi r^2$$

반지름이 $r$, 모선의 길이가 $l$인 원뿔:

$$SA = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r+l)$$

원기둥 공식에서 $2\pi r^2$ 항은 위아래 두 원형 밑면을 모두 나타냅니다. 원뿔 공식에서 $\pi r^2$ 항은 밑면, $\pi rl$ 항은 옆의 곡면을 나타냅니다. 입체도형의 한쪽이 뚫려 있다면, 없는 부분만큼 빼 주어야 합니다.

겉넓이의 뜻

겉넓이는 부피와 다릅니다. 겉넓이는 바깥을 덮는 넓이를 제곱단위로 나타내고, 부피는 안쪽 공간의 크기를 세제곱단위로 나타냅니다.

이 차이는 중요합니다. 두 공식이 서로 다른 질문에 답하기 때문입니다. 탱크에 페인트칠하기, 상자 포장하기, 공의 겉면 덮기에는 겉넓이를 사용합니다. 반면 탱크를 채우는 데는 부피를 사용합니다.

알맞은 겉넓이 공식을 고르는 방법

먼저 두 가지를 물어보세요:

1. 도형의 종류는 무엇인가?
2. 어떤 치수가 주어졌는가?

문제에서 원기둥의 반지름이 아니라 지름을 주었다면, 먼저 $r = d/2$로 바꾸어야 합니다. 원뿔의 높이는 주어졌지만 모선의 길이가 주어지지 않았다면, 높이를 그대로 $\pi r(r+l)$에 넣으면 안 됩니다.

직원뿔에서는 모선의 길이를 피타고라스 관계로 구합니다.

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

여기서 $h$는 수직 높이입니다.

풀이 예제: 원기둥의 겉넓이

반지름이 $3$ cm이고 높이가 $8$ cm인 원기둥이 있다고 합시다. 이 원기둥의 전체 겉넓이를 구해 봅시다.

공식은

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

입니다.

$r = 3$, $h = 8$을 대입하면

$$SA = 2\pi(3)^2 + 2\pi(3)(8)$$ $$SA = 18\pi + 48\pi = 66\pi$$

따라서 정확한 겉넓이는

$$66\pi \text{ cm}^2$$

입니다.

소수값이 필요하면

$$66\pi \approx 207.3 \text{ cm}^2$$

입니다.

이 결과가 자연스러운 이유는 원기둥이 두 개의 원형 밑면과 하나의 곡면으로 이루어져 있고, 여기서는 그 세 부분을 모두 포함했기 때문입니다.

겉넓이에서 자주 하는 실수

1. 겉넓이와 부피를 헷갈리는 것. 겉넓이는 $\text{cm}^2$ 같은 제곱단위를 쓰며, 세제곱단위를 쓰지 않습니다.
2. 공식에 반지름이 필요한데 지름을 그대로 사용하는 것.
3. 한 면이나 한 밑면을 빼먹는 것. 특히 정육면체, 각기둥, 원기둥에서 자주 생깁니다.
4. 원뿔의 모선의 길이 대신 수직 높이를 사용하는 것.
5. 계산 전에 단위를 통일하지 않는 것. 예를 들어 한 길이는 cm, 다른 길이는 m로 두는 경우입니다.

실생활 문제에서 겉넓이가 쓰이는 경우

겉넓이는 덮기, 코팅하기, 또는 바깥으로 드러난 부분을 따질 때 유용합니다. 대표적인 예로는 벽에 칠하는 페인트, 상자를 싸는 포장지, 캔 둘레의 라벨 재료, 공의 겉재질 등이 있습니다.

공식은 실제 물체의 모양과 맞아야 합니다. 공은 구에 가까우므로 구의 공식을 쓰는 것이 맞습니다. 캔은 원기둥에 가까우므로 원기둥 공식을 쓰는 것이 맞습니다.

겉넓이를 빠르게 이해하는 방법

평면도형에서는 넓이가 안쪽 영역의 크기를 나타냅니다. 입체도형에서는 겉넓이가 바깥의 모든 면이나 곡면의 넓이를 더한 값입니다.

그래서 많은 공식이 "여러 넓이의 합"처럼 보입니다. 직육면체는 여섯 개의 직사각형 면을 더합니다. 원기둥은 두 개의 원과 하나의 곡면을 더합니다. 원뿔은 하나의 원과 하나의 곡면을 더합니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

가로, 세로, 높이가 각각 $4$ cm, $5$ cm, $7$ cm인 직육면체로 직접 해 보세요. 바깥 전체 넓이를 구한 뒤, 답이 제곱단위인지 확인해 보세요.

한 단계 더 나아가고 싶다면, 같은 입체도형의 부피도 구해서 단위를 비교해 보세요. 이것이 겉넓이와 부피를 헷갈리지 않는 가장 빠른 방법입니다.