일차방정식은 일정한 변화율의 관계를 나타냅니다. 하나의 변수에 대해서는 보통 일 때 꼴로 쓰이며, 식을 참으로 만드는 값을 구하는 문제입니다. 두 변수에 대해서는 그래프에서 직선을 나타냅니다.
핵심 아이디어는 일정한 변화입니다. 가 같은 만큼 변할 때마다 도 항상 같은 만큼 변하면 그 관계는 일차적입니다. 그래서 일차방정식은 시급, 일정한 속력, 그리고 시작값에 매 단계마다 같은 변화가 더해지는 모든 상황에 등장합니다.
일차방정식이 일차인 이유
식에서 모든 변수항의 차수가 1이면 그 방정식은 일차방정식입니다. 즉, 같은 제곱이 없고, 기초 대수에서는 같은 곱이 없으며, 분모에 변수가 없어야 합니다.
예를 들어, 다음 식들은 일차방정식입니다.
다음 식들은 일차방정식이 아닙니다.
두 가지 대표적인 경우: 풀이와 그래프
하나의 변수가 있는 문제에서는 보통 미지수의 값을 구하는 것이 목표입니다. 에서는 식을 참으로 만드는 의 값을 찾습니다.
두 개의 변수가 있는 문제에서는 관계를 이해하는 것이 목표인 경우가 많습니다. 에서는 가 변할 때 가 어떻게 변하는지 알려 주며, 그 그래프는 직선입니다.
예제: 풀기
주변의 연산을 역순으로 하나씩 없애는 것부터 시작합니다.
양변에 을 더합니다:
그러면
이제 양변을 으로 나눕니다:
원래 식에 대입해 답을 확인합니다:
확인이 맞으므로 이 정답입니다. 이것이 일차방정식을 푸는 핵심입니다. 변수를 한쪽에 고립시킨 뒤, 원래 식에 대입해 결과를 확인합니다.
그래프가 직선인 이유
과 같은 두 변수의 일차방정식에서는 의 변화량이 일정하게 유지됩니다. 가 증가할 때마다 는 항상 씩 증가합니다. 변화율이 일정하면 그래프는 곡선이 아니라 직선이 됩니다.
변화율이 일정하지 않으면 그래프는 보통 직선이 아닙니다. 예를 들어 는 가 커질수록 의 변화량도 커지기 때문에 위로 휘어집니다.
일차방정식을 풀 때 흔한 실수
흔한 실수 중 하나는 와 가 함께 있으면 무조건 일차방정식이라고 생각하는 것입니다. 변수의 차수가 모두 1이고 관계의 변화가 일정할 때만 그렇습니다.
또 다른 실수는 방정식을 풀 때 한쪽에만 연산을 하는 것입니다. 왼쪽에 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기를 했다면, 등식을 유지하려면 오른쪽에도 똑같이 해야 합니다.
세 번째 실수는 조건을 확인하지 않고 계수로 나누는 것입니다. 에서 나누어 푸는 방법은 이라고 가정합니다. 만약 이면 그 식은 더 이상 표준적인 한 변수 일차방정식이 아닙니다.
일차방정식이 쓰이는 곳
일차방정식은 어떤 양이 일정한 비율로 변할 때마다 나타납니다. 예산 계산, 거리와 시간 문제, 단가 계산, 그리고 간단한 물리 모델에서 볼 수 있습니다.
일차방정식은 풀기 쉽고, 그래프로 나타내기 쉽고, 해석하기도 쉬워서 가장 먼저 쓰이는 유용한 모델인 경우가 많습니다. 제한된 범위에서는 더 복잡한 데이터도 종종 직선으로 근사합니다.
비슷한 문제를 풀어 보세요
를 풀고, 대입하여 답을 확인해 보세요. 다른 경우를 살펴보고 싶다면 를 으로 고쳐 쓴 뒤, 가 증가할 때 가 어떻게 변하는지 설명해 보세요.