Triangoli congruenti — SSS, SAS, ASA, AAS e HL

I triangoli congruenti sono triangoli con la stessa forma e la stessa dimensione. Nella maggior parte dei problemi di geometria, si dimostra la congruenza con uno di cinque criteri: SSS, SAS, ASA, AAS oppure HL. È anche importante sapere quali scorciatoie comuni non funzionano, in particolare AAA e SSA.

Se un triangolo può essere traslato, ruotato o riflesso in modo da sovrapporsi esattamente all'altro, allora i triangoli sono congruenti. L'ordine dei vertici conta, perché indica quali parti corrispondono.

Cosa significa che due triangoli sono congruenti

Se $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, allora le parti corrispondenti sono uguali:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Questo significa

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

e

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

L'affermazione $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ associa $A$ con $D$, $B$ con $E$ e $C$ con $F$. Se scrivi le lettere nell'ordine sbagliato, puoi far corrispondere lati e angoli sbagliati.

Criteri di congruenza dei triangoli che funzionano

SSS: Lato-Lato-Lato

Se tutte e tre le lunghezze dei lati corrispondono, i triangoli sono congruenti.

Tre lunghezze dei lati determinano un solo triangolo, a meno di una riflessione.

SAS: Lato-Angolo-Lato

Se due lati e l'angolo compreso tra essi corrispondono, i triangoli sono congruenti.

La condizione fondamentale è che sia l'angolo compreso. Deve essere l'angolo formato dai due lati noti.

ASA: Angolo-Lato-Angolo

Se due angoli e il lato compreso tra essi corrispondono, i triangoli sono congruenti.

Una volta fissati due angoli, anche il terzo è determinato. Il lato determina la dimensione del triangolo.

AAS: Angolo-Angolo-Lato

Se due angoli e un lato non compreso corrispondono, i triangoli sono congruenti.

Funziona per la stessa ragione di ASA: due angoli fissano la forma e un lato fissa la dimensione.

HL: Ipotenusa-Cateto

HL si applica solo ai triangoli rettangoli. Se due triangoli rettangoli hanno la stessa ipotenusa e un cateto corrispondente uguale, allora sono congruenti.

Senza la condizione di angolo retto, HL non si applica.

Un esempio svolto con SAS

Supponiamo di sapere che

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

e che in ciascun triangolo l'angolo noto sia compreso tra i due lati noti.

Questo basta per applicare SAS:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

Quindi i triangoli sono congruenti:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Dopo questo, ogni parte corrispondente coincide. Per esempio, $BC = EF$ e $\angle B = \angle E$.

L'osservazione chiave è la posizione, non i valori numerici. L'angolo uguale si trova tra i lati uguali, quindi questo è un caso SAS e non SSA.

Perché AAA e SSA non bastano

AAA

AAA non dimostra la congruenza. Dimostra solo che i triangoli sono simili.

Per esempio, due triangoli equilateri possono avere entrambi angoli di $60^\circ$, $60^\circ$ e $60^\circ$, ma lunghezze dei lati diverse.

SSA

SSA non è in generale un criterio valido di congruenza. Conoscere due lati e un angolo non compreso può produrre più di un triangolo, oppure a volte nessun triangolo.

Per questo SSA è chiamato il caso ambiguo. L'eccezione speciale più comune è HL, che funziona solo perché i triangoli sono rettangoli.

Errori comuni nella congruenza dei triangoli

1. Usare SAS quando l'angolo noto non è compreso tra i due lati noti.
2. Usare HL su triangoli che non sono dichiarati o mostrati come rettangoli.
3. Supporre che AAA dimostri la congruenza invece della similitudine.
4. Associare i vertici sbagliati quando si scrive un'affermazione di congruenza.

Dove si usano i triangoli congruenti

I triangoli congruenti compaiono nelle dimostrazioni geometriche, nei problemi di costruzione, nella geometria analitica e nei lavori di progettazione in cui pezzi corrispondenti devono combaciare esattamente.

Sono particolarmente utili quando un problema fornisce solo poche lunghezze o angoli ma ne richiede altre. Una volta dimostrata la congruenza, puoi usare con sicurezza tutte le altre parti corrispondenti.

Prova un caso simile

Considera due triangoli rettangoli con ipotenusa $10$ e un cateto $6$. HL dimostra che sono congruenti solo se entrambi i triangoli sono rettangoli. Se togli questa condizione, il ragionamento non vale più, ed è un buon modo per ricordare perché HL è un caso speciale.