Utile e perdita — formule, scorciatoie e problemi

Utile e perdita confrontano il prezzo di costo con il prezzo di vendita. Se il prezzo di vendita è più alto, c’è un utile. Se è più basso, c’è una perdita. Nei normali problemi scolastici, la percentuale si calcola di solito prendendo come base il prezzo di costo.

$$\text{Profit} = \text{SP} - \text{CP}, \qquad \text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$$

Le formule delle percentuali sono:

$$\text{Profit\%} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100, \qquad \text{Loss\%} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100$$

Se $\text{SP} = \text{CP}$, non c’è né utile né perdita. Se un problema usa una base diversa, dovrebbe dirlo esplicitamente.

Che cosa significano prezzo di costo e prezzo di vendita

Il prezzo di costo, o $\text{CP}$, è l’importo pagato per acquistare l’articolo.

Il prezzo di vendita, o $\text{SP}$, è l’importo incassato quando l’articolo viene venduto.

Se $\text{SP} > \text{CP}$, la differenza è l’utile. Se $\text{SP} < \text{CP}$, la differenza è la perdita. Per questo i problemi su utile e perdita sono prima di tutto problemi di confronto e solo dopo problemi di percentuali.

Formule di utile e perdita da ricordare

Queste sono le formule usate nella maggior parte dei problemi scolastici e d’esame:

$$\text{Profit} = \text{SP} - \text{CP}$$ $$\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$$ $$\text{Profit\%} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100$$ $$\text{Loss\%} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100$$

Se la percentuale è data e devi trovare il prezzo di vendita, queste forme rapide sono più veloci:

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 + \frac{p}{100}\right)$$

per un utile del $p\%$, e

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 - \frac{l}{100}\right)$$

per una perdita del $l\%$.

Esempio svolto: trovare utile e percentuale di utile

Supponiamo che un negoziante compri una borsa a $500$ e la venda a $575$.

Passo 1: confronta il prezzo di vendita e il prezzo di costo.

$$575 > 500$$

Quindi il risultato è un utile.

Passo 2: trova l’importo dell’utile.

$$\text{Profit} = 575 - 500 = 75$$

Passo 3: trova la percentuale di utile usando come base il prezzo di costo.

$$\text{Profit\%} = \frac{75}{500} \times 100 = 15\%$$

Quindi il negoziante ha ottenuto un utile di $75$ e una percentuale di utile del $15\%$.

Puoi verificare lo stesso risultato con la formula rapida:

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 + \frac{15}{100}\right) = 500(1.15) = 575$$

Questa scorciatoia aiuta quando la percentuale è data per prima e vuoi trovare rapidamente il prezzo di vendita.

Come risolvere più velocemente i problemi su utile e perdita

Se un problema dà il prezzo di costo e il prezzo di vendita, fai prima la sottrazione. Poi decidi se la differenza rappresenta un utile o una perdita.

Se un problema dà il prezzo di costo e una percentuale di utile o di perdita, vai direttamente alla formula rapida del prezzo di vendita. Di solito così risparmi un passaggio.

Se un problema chiede una percentuale, fermati un attimo e controlla il denominatore. Nei normali problemi di utile e perdita, è il prezzo di costo, non il prezzo di vendita.

Errori comuni su utile e perdita

Usare il denominatore sbagliato

Nei normali problemi da libro di testo, la percentuale di utile e la percentuale di perdita si calcolano sul prezzo di costo. Usare il prezzo di vendita dà un rapporto diverso.

Confondere utile e perdita

Non usare $\text{SP} - \text{CP}$ a meno che tu non sappia già che il risultato deve essere un utile. Se l’articolo è stato venduto a meno, usa direttamente $\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$.

Dimenticare il caso né utile né perdita

Quando $\text{SP} = \text{CP}$, la risposta non è né utile né perdita. La percentuale è $0\%$.

Applicare una percentuale senza controllare la base

Se il problema dice "guadagno del $20\%$," di solito significa il $20\%$ del prezzo di costo. Se il testo cambia la base, cambia anche la formula.

Dove si usa utile e perdita

Utile e perdita compaiono nell’aritmetica scolastica, nei prezzi al dettaglio, nei problemi di rivendita e nella matematica commerciale di base. La stessa idea compare ogni volta che si confronta il costo di acquisto con il valore di vendita.

L’aritmetica è semplice, ma leggere con attenzione è importante. La maggior parte degli errori nasce dalla scelta della base sbagliata o dalla confusione tra prezzo di costo e prezzo di vendita.

Prova un problema simile su utile e perdita

Prova una tua versione con prezzo di costo $800$ e prezzo di vendita $720$. Decidi prima se si tratta di un utile o di una perdita, poi trova l’importo e la percentuale. Dopo, cambia solo il prezzo di vendita e osserva come il segno della differenza cambia tutto il problema.