損益計算 — 公式・解き方のコツ・練習問題

損益計算では、原価と売価を比べます。売価のほうが高ければ利益、低ければ損失です。学校の標準的な問題では、割合はふつう原価をもとに計算します。

$$\text{Profit} = \text{SP} - \text{CP}, \qquad \text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$$

割合の公式は次のとおりです。

$$\text{Profit\%} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100, \qquad \text{Loss\%} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100$$

$\text{SP} = \text{CP}$ なら、利益も損失もありません。問題で別の基準を使う場合は、通常はそのことが明記されます。

原価と売価の意味

原価、つまり $\text{CP}$ は、その品物を仕入れるために支払った金額です。

売価、つまり $\text{SP}$ は、その品物を売って受け取る金額です。

$\text{SP} > \text{CP}$ なら、その差は利益です。$\text{SP} < \text{CP}$ なら、その差は損失です。だから損益の問題は、まず比較の問題であり、その次に割合の問題だと考えるとわかりやすくなります。

覚えておきたい損益計算の公式

学校や試験の問題でよく使う公式は次のとおりです。

$$\text{Profit} = \text{SP} - \text{CP}$$ $$\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$$ $$\text{Profit\%} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100$$ $$\text{Loss\%} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100$$

割合が与えられていて売価を求めたいときは、次の形を使うと速く解けます。

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 + \frac{p}{100}\right)$$

これは利益が $p\%$ のときです。

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 - \frac{l}{100}\right)$$

これは損失が $l\%$ のときです。

例題：利益と利益率を求める

ある店主がかばんを $500$ で仕入れ、$575$ で売ったとします。

ステップ1：売価と原価を比べます。

$$575 > 500$$

したがって、結果は利益です。

ステップ2：利益の金額を求めます。

$$\text{Profit} = 575 - 500 = 75$$

ステップ3：原価をもとにして利益率を求めます。

$$\text{Profit\%} = \frac{75}{500} \times 100 = 15\%$$

したがって、この店主の利益は $75$、利益率は $15\%$ です。

同じ結果は、次の近道の公式でも確認できます。

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 + \frac{15}{100}\right) = 500(1.15) = 575$$

この近道は、割合が先に与えられていて、売価をすばやく求めたいときに便利です。

損益の問題を速く解くコツ

問題で原価と売価が与えられているなら、まず引き算をします。そのあとで、その差が利益なのか損失なのかを判断します。

原価と利益率または損失率が与えられているなら、売価の近道の公式をすぐ使いましょう。たいていはそのほうが1段階少なくて済みます。

割合を求める問題では、分母をいったん確認してください。標準的な損益の問題では、売価ではなく原価を使います。

よくある損益計算のミス

分母をまちがえる

標準的な教科書の問題では、利益率と損失率は原価をもとに計算します。売価を使うと、別の割合になってしまいます。

利益と損失を取り違える

結果が利益だとわかっていないのに、$\text{SP} - \text{CP}$ を使わないようにしましょう。売価のほうが低いなら、$\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$ をそのまま使います。

損益なしのケースを忘れる

$\text{SP} = \text{CP}$ のとき、答えは利益でも損失でもありません。割合は $0\%$ です。

基準を確認せずに割合を使う

問題に「$20\%$ の利益」とあれば、ふつうは原価の $20\%$ を意味します。もし基準が変われば、使う公式も変わります。

損益計算が使われる場面

損益計算は、学校の算数・数学、小売の値付け、転売の問題、基本的なビジネス数学などで出てきます。仕入れ値と売る値段を比べる場面なら、同じ考え方が使えます。

計算自体は難しくありませんが、問題文をていねいに読むことが大切です。多くのミスは、基準を取り違えたり、原価と売価を混同したりすることから起こります。

似た損益の問題に挑戦してみよう

原価 $800$、売価 $720$ の場合で自分でも解いてみましょう。まず利益か損失かを判断し、そのあと金額と割合を求めます。さらに売価だけを変えてみると、差の符号が変わることで問題全体がどう変わるかも確認できます。