손익 — 공식, 빠른 풀이와 문제

손익은 원가와 판매가를 비교하는 개념입니다. 판매가가 더 높으면 이익이고, 더 낮으면 손실입니다. 학교 수학의 기본 문제에서는 보통 원가를 기준으로 백분율을 계산합니다.

$$\text{Profit} = \text{SP} - \text{CP}, \qquad \text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$$

백분율 공식은 다음과 같습니다.

$$\text{Profit\%} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100, \qquad \text{Loss\%} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100$$

$\text{SP} = \text{CP}$이면 이익도 손실도 없습니다. 문제에서 다른 기준을 사용한다면, 보통 그 점을 분명하게 밝혀 줍니다.

원가와 판매가의 뜻

원가(cost price), 즉 $\text{CP}$는 물건을 사는 데 든 금액입니다.

판매가(selling price), 즉 $\text{SP}$는 물건을 팔아서 받은 금액입니다.

$\text{SP} > \text{CP}$이면 그 차액은 이익입니다. $\text{SP} < \text{CP}$이면 그 차액은 손실입니다. 그래서 손익 문제는 먼저 비교 문제이고, 그다음이 백분율 문제라고 볼 수 있습니다.

꼭 기억해야 할 손익 공식

다음은 대부분의 학교 시험과 문제집에서 사용하는 공식입니다.

$$\text{Profit} = \text{SP} - \text{CP}$$ $$\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$$ $$\text{Profit\%} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100$$ $$\text{Loss\%} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100$$

백분율이 주어지고 판매가를 구해야 할 때는 다음의 빠른 공식을 쓰면 더 편합니다.

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 + \frac{p}{100}\right)$$

이는 이익이 $p\%$일 때이고,

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 - \frac{l}{100}\right)$$

이는 손실이 $l\%$일 때입니다.

풀이 예제: 이익과 이익률 구하기

어떤 상인이 가방을 $500$에 사서 $575$에 팔았다고 해 봅시다.

1단계: 판매가와 원가를 비교합니다.

$$575 > 500$$

따라서 결과는 이익입니다.

2단계: 이익의 금액을 구합니다.

$$\text{Profit} = 575 - 500 = 75$$

3단계: 원가를 기준으로 이익률을 구합니다.

$$\text{Profit\%} = \frac{75}{500} \times 100 = 15\%$$

따라서 이 상인은 $75$의 이익을 얻었고, 이익률은 $15\%$입니다.

빠른 공식을 사용해도 같은 결과를 확인할 수 있습니다.

$$\text{SP} = \text{CP}\left(1 + \frac{15}{100}\right) = 500(1.15) = 575$$

이 공식은 백분율이 먼저 주어지고 판매가를 빠르게 구하고 싶을 때 특히 유용합니다.

손익 문제를 더 빠르게 푸는 방법

문제에서 원가와 판매가가 주어지면 먼저 뺄셈을 하세요. 그다음 그 차이가 이익인지 손실인지 판단하면 됩니다.

문제에서 원가와 이익률 또는 손실률이 주어지면, 바로 판매가의 빠른 공식을 사용하세요. 보통 한 단계를 줄일 수 있습니다.

문제가 백분율을 묻는다면 잠깐 멈추고 분모를 확인하세요. 일반적인 손익 문제에서는 판매가가 아니라 원가를 기준으로 합니다.

손익 문제에서 자주 하는 실수

분모를 잘못 사용하는 경우

일반적인 교과서 문제에서는 이익률과 손실률을 원가를 기준으로 계산합니다. 판매가를 사용하면 다른 비율이 나옵니다.

이익과 손실을 혼동하는 경우

결과가 이익이라는 것을 이미 알고 있을 때만 $\text{SP} - \text{CP}$를 사용하세요. 더 싸게 팔았다면 바로 $\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}$를 사용해야 합니다.

이익도 손실도 없는 경우를 잊는 경우

$\text{SP} = \text{CP}$이면 답은 이익도 손실도 아닙니다. 백분율은 $0\%$입니다.

기준을 확인하지 않고 백분율을 적용하는 경우

문제에 "이익이 $20\%$"라고 되어 있으면, 보통 원가의 $20\%$를 뜻합니다. 기준이 달라지면 공식도 함께 달라집니다.

손익이 쓰이는 곳

손익은 학교 산수, 소매 가격 계산, 되팔기 문제, 기초 경영 수학에서 자주 나옵니다. 물건을 산 비용과 판 가치를 비교하는 상황이라면 같은 생각이 적용됩니다.

계산 자체는 단순하지만, 문제를 꼼꼼히 읽는 것이 중요합니다. 대부분의 실수는 기준을 잘못 잡거나 원가와 판매가를 혼동해서 생깁니다.

비슷한 손익 문제를 직접 풀어 보세요

원가가 $800$, 판매가가 $720$인 경우를 직접 풀어 보세요. 먼저 이익인지 손실인지 판단한 뒤, 금액과 백분율을 구해 보세요. 그다음 판매가만 바꿔 보면서 차이의 부호가 문제 전체를 어떻게 바꾸는지도 확인해 보세요.