Rapporto — semplificazione, confronto e problemi

Un rapporto confronta due quantità in un ordine fisso. Se una classe ha $12$ ragazze e $8$ ragazzi, il rapporto tra ragazze e ragazzi è $12:8$, che si semplifica in $3:2$.

Questo non significa che ci siano solo $3$ ragazze e $2$ ragazzi. Significa che il confronto è equivalente: ogni $3$ ragazze ci sono $2$ ragazzi.

Che cosa significa un rapporto in matematica

Un rapporto mostra come una quantità è in relazione con un’altra. Puoi scriverlo come $a:b$, leggerlo come "a a b" oppure scriverlo come $\frac{a}{b}$ quando consideri il confronto come un quoziente e $b \neq 0$.

L’ordine conta. Il rapporto $3:2$ non è uguale a $2:3$ perché il primo numero si riferisce sempre alla prima quantità nominata.

I rapporti funzionano meglio quando entrambe le quantità misurano lo stesso tipo di grandezza, oppure quando prima le converti nella stessa unità. Per confrontare $2$ metri e $50$ centimetri, converti prima:

$$2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$$

Quindi il rapporto è

$$200:50 = 4:1$$

Come semplificare i rapporti

Per semplificare un rapporto, dividi entrambe le parti per lo stesso fattore comune. È simile alla semplificazione di una frazione, ma mantieni la forma di rapporto.

Per esempio:

$$12:8 = 3:2$$

perché entrambe le parti sono divisibili per $4$:

$$12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2$$

Il rapporto semplificato mantiene lo stesso confronto. È più facile da leggere, ma non cambia la relazione.

Se i due numeri non hanno alcun fattore comune maggiore di $1$, il rapporto è già nella forma più semplice.

Esempio di rapporto: risolvere un problema testuale

Supponiamo che una miscela di vernice usi rosso e blu nel rapporto $2:3$. Se usi $10$ tazze di vernice rossa, quante tazze di vernice blu ti servono?

Il rapporto dice che ci sono $2$ parti di rosso per ogni $3$ parti di blu.

Se il rosso passa da $2$ parti a $10$ tazze, il fattore di scala è $5$ perché

$$2 \times 5 = 10$$

Usa lo stesso fattore per il blu:

$$3 \times 5 = 15$$

Quindi ti servono $15$ tazze di vernice blu.

L’idea chiave è che entrambe le parti devono essere scalate con lo stesso fattore. È questo che mantiene invariato il rapporto $2:3$.

Come funzionano di solito i problemi testuali sui rapporti

La maggior parte dei problemi testuali sui rapporti ti chiede di fare una di queste tre cose:

• semplificare un confronto
• aumentare o ridurre un confronto in scala
• trovare una quantità mancante quando il rapporto è noto

In ogni caso, la logica è la stessa: mantieni fisso l’ordine e mantieni coerente il confronto.

Un errore comune è confondere i confronti parte-parte con quelli parte-tutto. Se maschi:femmine = $2:3$, allora il numero totale di parti è $5$, quindi i maschi sono $\frac{2}{5}$ della classe, non $\frac{2}{3}$.

Errori comuni con i rapporti

Invertire l’ordine

Se la domanda chiede gatti:cani e tu scrivi cani:gatti, i numeri possono anche essere corretti, ma il rapporto è comunque sbagliato.

Dimenticare di uniformare le unità

Confrontare $1$ ora e $30$ minuti come $1:30$ è sbagliato perché le unità sono diverse. Converti prima:

$$1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}$$

quindi il rapporto è

$$60:30 = 2:1$$

Trattare un rapporto come una differenza

$5:2$ non significa che la prima quantità sia sempre "$3$ in più" nel senso rilevante per il problema. Un rapporto è un confronto moltiplicativo, non solo una differenza.

Semplificare solo una parte

Se cambi un lato di un rapporto, devi cambiare anche l’altro lato con lo stesso fattore. Altrimenti il confronto cambia.

Quando si usano i rapporti

I rapporti compaiono nelle ricette, nelle mappe, nei disegni in scala, nelle miscele, nei confronti in classe e in molti problemi di algebra sulle relazioni equivalenti.

Sono particolarmente utili quando la vera domanda è "quanto rispetto a quanto?" invece di "quanto in totale?".

Prova un problema simile sui rapporti

Un mix di snack usa frutta secca e uvetta nel rapporto $4:1$. Se hai $20$ tazze di frutta secca, quante tazze di uvetta mantengono lo stesso mix?

Poi scrivi il rapporto tra uvetta e frutta secca e controlla di aver invertito correttamente l’ordine. Se vuoi fare un passo in più, cambia la frutta secca in $12$ tazze e risolvi di nuovo senza guardare l’esempio.