Addizione di frazioni — denominatori uguali e diversi

Addizionare frazioni significa unire parti dello stesso intero. Se i denominatori coincidono già, somma i numeratori e mantieni il denominatore. Se i denominatori sono diversi, riscrivi prima le frazioni con un denominatore comune.

La regola di base è

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

ma funziona solo quando entrambe le frazioni contano parti della stessa dimensione. Puoi sommare $\frac{2}{7}$ e $\frac{3}{7}$ subito perché sono entrambe in settimi. Non puoi sommare $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{4}$ finché non le riscrivi nella stessa unità.

Come addizionare frazioni con denominatori uguali

Le frazioni con denominatori uguali sono già espresse nella stessa unità, quindi l'addizione è diretta.

Per esempio,

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}.$$

Il denominatore resta $7$ perché la dimensione di ogni parte non è cambiata. Stai solo contando quanti settimi ci sono in totale.

Come addizionare frazioni con denominatori diversi

Quando i denominatori sono diversi, riscrivi prima le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore. Il minimo comune denominatore è spesso la scelta più semplice perché mantiene i numeri più piccoli.

Per $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, un denominatore comune è $12$:

$$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \qquad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}.$$

Ora entrambe le frazioni sono espresse in dodicesimi, quindi l'addizione è valida:

$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}.$$

Questa è l'idea chiave: non stai cambiando la quantità. Stai cambiando l'unità in modo che entrambe le frazioni descrivano parti della stessa dimensione.

Esempio svolto: $\frac{3}{8} + \frac{1}{6}$

I denominatori sono diversi, quindi non sommare $3+1$ e $8+6$. Per prima cosa trova un denominatore comune.

Il minimo comune multiplo di $8$ e $6$ è $24$, quindi riscrivi entrambe le frazioni in ventiquattresimi:

$$\frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \qquad \frac{1}{6} = \frac{4}{24}.$$

Ora somma i numeratori:

$$\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{13}{24}.$$

Poiché $13$ e $24$ non hanno alcun fattore comune maggiore di $1$, $\frac{13}{24}$ è già semplificata. Quindi

$$\frac{3}{8} + \frac{1}{6} = \frac{13}{24}.$$

Errori comuni nell'addizione di frazioni

Un errore comune è sommare sia i numeratori sia i denominatori, come in

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}.$$

Questo non è corretto perché terzi e quarti sono parti di dimensioni diverse.

Un altro errore è cambiare il denominatore senza cambiare il numeratore in modo da mantenere la frazione equivalente. Se riscrivi $\frac{1}{3}$ in dodicesimi, diventa $\frac{4}{12}$, non $\frac{1}{12}$.

Un terzo errore è dimenticare di semplificare quando il risultato può essere ridotto. Per esempio,

$$\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Dove si usa l'addizione di frazioni

L'addizione di frazioni compare ogni volta che unisci parti di uno stesso intero. Esempi comuni sono ricette, misure, probabilità e problemi di algebra con espressioni razionali.

La stessa idea del denominatore comune è alla base anche della sottrazione di frazioni. Una volta compresa bene questa idea, entrambe le operazioni diventano molto più facili da controllare.

Prova un esercizio simile

Prova da solo $\frac{5}{12} + \frac{1}{8}$. Trova un denominatore comune, riscrivi entrambe le frazioni e semplifica il risultato se possibile.