Divisione di frazioni — metodo inverti e moltiplica

Per dividere le frazioni, lascia invariata la prima frazione, inverti il divisore e moltiplica. Questa scorciatoia funziona purché il divisore non sia zero.

Per esempio,

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$$

Qui il risultato diventa più grande perché dividere per $\frac{1}{2}$ significa chiedersi quante metà stanno in $\frac{3}{4}$.

In generale,

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

purché $b \ne 0$, $d \ne 0$ e $\frac{c}{d} \ne 0$.

Come dividere le frazioni

La frazione invertita è il reciproco. Il reciproco di $\frac{2}{3}$ è $\frac{3}{2}$ perché numeratore e denominatore si scambiano di posto.

Usa questo procedimento:

1. Lascia invariata la prima frazione.
2. Inverti la seconda frazione, cioè il divisore.
3. Moltiplica in linea.
4. Semplifica il risultato.

Perché inverti e moltiplica funziona

Dividere per un numero equivale a moltiplicare per il suo inverso moltiplicativo. Per una frazione non nulla $\frac{c}{d}$, quell’inverso è $\frac{d}{c}$ perché

$$\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$$

Quindi dividere per $\frac{c}{d}$ dà lo stesso risultato che moltiplicare per $\frac{d}{c}$. Questo è il motivo per cui la regola funziona, non solo un trucco da memorizzare.

Esempio svolto: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$

Parti da

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$$

Lascia invariata la prima frazione e inverti il divisore:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$

Moltiplica:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4}$$

Semplifica:

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Quindi

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Questo ha senso anche a parole: "Quante metà stanno in tre quarti?" La risposta è $1\frac{1}{2}$ metà.

Perché dividere per una frazione può rendere il risultato più grande

Gli studenti spesso si aspettano che la divisione renda i numeri più piccoli. Questo è vero quando dividi per un numero positivo maggiore di $1$, ma non quando dividi per una frazione positiva minore di $1$.

Se dividi per $\frac{1}{2}$, stai contando delle metà. Poiché le metà sono parti più piccole delle unità intere, spesso puoi farcene stare più di una nella quantità iniziale. Ecco perché $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ è maggiore di $\frac{3}{4}$.

Errori comuni nella divisione di frazioni

Invertire la frazione sbagliata

Devi invertire solo la seconda frazione, cioè il divisore. La prima frazione resta uguale.

Dimenticare la condizione sullo zero

Non puoi dividere per $0$, quindi il divisore non può essere la frazione zero. Per esempio, $\frac{5}{6} \div 0$ è indefinito.

Dividere sopra con sopra e sotto con sotto

Questa non è la regola per la divisione di frazioni. Dopo aver invertito il divisore, devi moltiplicare in linea.

Dimenticare di riscrivere i numeri interi come frazioni

Se compare un numero intero, scrivilo sopra $1$. Per esempio, $2 \div \frac{2}{3}$ significa $\frac{2}{1} \div \frac{2}{3}$.

Non vedere una semplificazione facile

Puoi moltiplicare prima e semplificare alla fine, ma a volte è più facile eliminare i fattori comuni prima di moltiplicare. Entrambi gli approcci vanno bene se i passaggi algebrici sono corretti.

Quando si usa la divisione di frazioni

La divisione di frazioni compare nelle misure, nelle ricette, nei tassi unitari e nei problemi di scala. Se conosci la dimensione di un pezzo e vuoi sapere quanti pezzi di quel tipo stanno in una quantità totale, spesso il modello giusto è la divisione di frazioni.

Per esempio, se una ricetta usa $\frac{2}{3}$ di tazza di latte per ogni dose e hai $2$ tazze di latte, la domanda "Quante dosi posso preparare?" diventa

$$2 \div \frac{2}{3}$$

Questa è una divisione di frazioni anche se uno dei numeri è un numero intero.

Un rapido controllo prima di andare avanti

Dopo aver risolto, chiediti se la grandezza del risultato è ragionevole.

• Se dividi per una frazione positiva minore di $1$, il risultato dovrebbe aumentare.
• Se dividi per un numero positivo maggiore di $1$, il risultato dovrebbe diminuire.

Questo non sostituisce il calcolo, ma è un buon modo per individuare una frazione invertita male o un errore di segno.

Prova un problema simile

Prova $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$ e decidi se il risultato dovrebbe essere più piccolo o più grande di $\frac{5}{6}$ prima di calcolare. Se vuoi un altro caso per controllare i passaggi, risolvi un problema simile con GPAI Solver.