Lingkaran Mohr — Analisis Tegangan

Lingkaran Mohr adalah grafik untuk keadaan tegangan dua dimensi. Dalam pengaturan tegangan bidang yang umum, grafik ini memungkinkan Anda membaca tegangan utama, tegangan geser maksimum dalam bidang, dan tegangan pada bidang yang diputar tanpa menghitung ulang transformasi penuh setiap kali.

Mulailah dengan komponen tegangan bidang $\sigma_x$, $\sigma_y$, dan $\tau_{xy}$. Lingkaran memiliki pusat

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

dan jari-jari

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Jika yang Anda perlukan hanya tegangan utama dan tegangan geser maksimum dalam bidang, dua ekspresi ini sudah memberikan hampir semua yang dibutuhkan.

Apa yang Ditunjukkan Lingkaran Mohr

Sumbu horizontal adalah tegangan normal $\sigma$, dan sumbu vertikal adalah tegangan geser $\tau$. Setiap titik pada lingkaran mewakili keadaan tegangan pada suatu bidang melalui titik material yang sama.

Pusat lingkaran adalah tegangan normal rata-rata. Bergerak ke kiri atau ke kanan mengubah tegangan normal pada bidang, dan bergerak ke atas atau ke bawah mengubah tegangan geser pada bidang tersebut.

Dua titik potong horizontal adalah tegangan utama karena tegangan geser bernilai nol di sana. Titik paling atas dan paling bawah memberikan tegangan geser maksimum dalam bidang, dan besar nilainya adalah jari-jari lingkaran.

Rumus yang Dibaca dari Lingkaran

Setelah Anda mengetahui $C$ dan $R$, hasil utamanya adalah

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Hasil ini berlaku untuk gambaran tegangan bidang yang ditunjukkan di sini. Jika keadaan tegangannya benar-benar tiga dimensi, tegangan geser maksimum keseluruhan bergantung pada seluruh himpunan tegangan utama, bukan hanya satu lingkaran ini.

Jika Anda juga ingin sudut bidang utama, gunakan hubungan transformasi tegangan

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

saat $\sigma_x \ne \sigma_y$ dan konvensi tanda Anda sesuai dengan lingkaran yang digambar.

Contoh Perhitungan: Mencari Tegangan Utama

Misalkan suatu titik pada pelat memiliki

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Pertama, cari pusatnya:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Lalu cari jari-jarinya:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Sekarang baca tegangan utamanya:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

Dan tegangan geser maksimum dalam bidang adalah

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Jadi keadaan tegangan ini memiliki satu tegangan utama tarik yang besar, satu tegangan utama tarik yang jauh lebih kecil, dan tegangan geser maksimum dalam bidang sebesar $42.4\ \mathrm{MPa}$. Itulah manfaat praktis lingkaran Mohr: satu sketsa langsung menunjukkan nilai-nilai ekstrem yang penting.

Mengapa Sudut pada Lingkaran Menjadi Dua Kali Lipat

Ketika elemen fisik berotasi sebesar sudut $\theta$, titik pada lingkaran Mohr bergerak sebesar $2\theta$. Faktor dua ini menjelaskan mengapa pertanyaan tentang sudut sering terasa tidak konsisten sampai Anda ingat bahwa lingkaran menggunakan sudut ganda.

Konvensi tanda untuk geser juga penting. Buku teks yang berbeda menempatkan geser positif pada arah vertikal yang berlawanan, sehingga lingkaran bisa tampak sebagai bayangan cermin. Jika konvensi digunakan secara konsisten, nilai tegangan utama tetap akan sama.

Kesalahan Umum pada Lingkaran Mohr

Jangan menggunakan lingkaran standar di kelas secara membabi buta. Konstruksi di sini mengasumsikan tegangan bidang, jadi ini bukan jawaban lengkap untuk keadaan tegangan 3D umum.

Jangan mengira pusat lingkaran sama dengan salah satu tegangan awal. Pusat adalah tegangan normal rata-rata, jadi hanya sama dengan $\sigma_x$ atau $\sigma_y$ pada kasus tertentu.

Jangan tertukar antara jari-jari dan titik potong. Jari-jari memberikan tegangan geser maksimum dalam bidang, sedangkan tegangan utama adalah $C + R$ dan $C - R$.

Jika Anda memakai rumus transformasi tegangan dan sketsa lingkaran sekaligus, gunakan konvensi tanda geser yang sama di keduanya. Jika tidak, sudut atau titik yang diplot bisa muncul sebagai bayangan cermin.

Di Mana Lingkaran Mohr Digunakan

Lingkaran Mohr muncul dalam mekanika bahan, perancangan mesin, analisis struktur, dan analisis kegagalan. Lingkaran ini menjadi sangat berguna ketika suatu komponen menerima pembebanan gabungan, seperti lentur ditambah torsi atau tarik ditambah geser.

Bahkan ketika perangkat lunak melakukan perhitungannya, lingkaran ini tetap membantu Anda melihat mana yang besar, mana yang turun menjadi nol, dan bidang mana yang paling kritis.

Coba Versi Anda Sendiri

Tetapkan $\tau_{xy} = 0$ atau buat $\sigma_x = \sigma_y$, lalu prediksi bentuk lingkarannya sebelum menghitung apa pun. Jika ingin melangkah sedikit lebih jauh, coba kasus transformasi tegangan Anda sendiri dengan kumpulan angka baru dan periksa apakah lingkarannya sesuai dengan intuisi Anda.