Cercle de Mohr — Analyse des contraintes

Le cercle de Mohr est une représentation graphique d’un état de contrainte bidimensionnel. Dans le cadre habituel des contraintes planes, il permet de lire les contraintes principales, le cisaillement maximal dans le plan et la contrainte sur un plan incliné sans refaire toute la transformation à chaque fois.

On part des composantes de contrainte plane $\sigma_x$, $\sigma_y$ et $\tau_{xy}$. Le cercle a pour centre

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

et pour rayon

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Si vous cherchez seulement les contraintes principales et le cisaillement maximal dans le plan, ces deux expressions donnent déjà presque tout.

Ce que montre le cercle de Mohr

L’axe horizontal représente la contrainte normale $\sigma$, et l’axe vertical la contrainte de cisaillement $\tau$. Chaque point du cercle représente l’état de contrainte sur un certain plan passant par le même point matériel.

Le centre correspond à la contrainte normale moyenne. Se déplacer vers la gauche ou vers la droite modifie la contrainte normale sur le plan, et se déplacer vers le haut ou vers le bas modifie la contrainte de cisaillement sur ce plan.

Les deux intersections avec l’axe horizontal sont les contraintes principales, car la contrainte de cisaillement y est nulle. Les points supérieur et inférieur donnent le cisaillement maximal dans le plan, dont la valeur absolue est le rayon.

Formules que l’on lit sur le cercle

Une fois $C$ et $R$ connus, les principaux résultats sont

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Ces résultats correspondent à la représentation en contraintes planes présentée ici. Si l’état de contrainte est entièrement tridimensionnel, le cisaillement maximal global dépend de l’ensemble des contraintes principales, et pas seulement de ce cercle unique.

Si vous voulez aussi l’angle des plans principaux, utilisez la relation de transformation des contraintes

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

lorsque $\sigma_x \ne \sigma_y$ et que votre convention de signe correspond à celle du cercle tracé.

Exemple résolu : trouver les contraintes principales

Supposons qu’un point d’une plaque ait

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Commençons par trouver le centre :

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Puis calculons le rayon :

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

On lit alors les contraintes principales :

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

Et le cisaillement maximal dans le plan vaut

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

L’état de contrainte présente donc une grande contrainte principale de traction, une autre contrainte principale de traction beaucoup plus faible, et un cisaillement maximal dans le plan de $42.4\ \mathrm{MPa}$. C’est l’intérêt pratique du cercle de Mohr : un seul tracé montre immédiatement les valeurs extrêmes importantes.

Pourquoi l’angle sur le cercle est doublé

Quand l’élément physique tourne d’un angle $\theta$, le point sur le cercle de Mohr se déplace d’un angle $2\theta$. Ce facteur deux explique pourquoi les questions d’angle semblent souvent incohérentes tant qu’on n’a pas retenu que le cercle utilise des angles doublés.

La convention de signe du cisaillement compte aussi. Selon les manuels, le cisaillement positif est placé dans des directions verticales opposées, donc le cercle peut apparaître réfléchi. Si la convention est utilisée de façon cohérente, les valeurs des contraintes principales restent les mêmes.

Erreurs fréquentes avec le cercle de Mohr

N’utilisez pas aveuglément le cercle standard vu en cours. La construction présentée ici suppose un état de contraintes planes, donc elle ne donne pas la réponse complète pour un état de contrainte 3D général.

Ne confondez pas le centre avec l’une des contraintes initiales. Le centre est la contrainte normale moyenne, donc il ne coïncide avec $\sigma_x$ ou $\sigma_y$ que dans des cas particuliers.

Ne confondez pas le rayon et les intersections avec l’axe. Le rayon donne le cisaillement maximal dans le plan, tandis que les contraintes principales sont $C + R$ et $C - R$.

Si vous utilisez à la fois les formules de transformation des contraintes et un tracé du cercle, gardez la même convention de signe pour le cisaillement dans les deux cas. Sinon, l’angle ou les points tracés peuvent apparaître en miroir.

Où le cercle de Mohr est utilisé

Le cercle de Mohr apparaît en résistance des matériaux, en conception mécanique, en analyse des structures et en analyse de rupture. Il devient particulièrement utile lorsqu’une pièce subit des chargements combinés, comme la flexion plus la torsion ou la traction plus le cisaillement.

Même lorsque le calcul est fait par logiciel, le cercle aide encore à voir ce qui est grand, ce qui s’annule et quels plans sont les plus critiques.

Essayez votre propre version

Posez $\tau_{xy} = 0$ ou prenez $\sigma_x = \sigma_y$, puis prédisez le cercle avant de calculer quoi que ce soit. Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre cas de transformation des contraintes avec un nouvel ensemble de valeurs et vérifiez si le cercle correspond à votre intuition.