วงกลมของมอร์ — การวิเคราะห์ความเค้น

วงกลมของมอร์เป็นกราฟสำหรับแสดงสภาวะความเค้นสองมิติ ในกรณีมาตรฐานของความเค้นระนาบ กราฟนี้ช่วยให้คุณอ่านค่าแรงเค้นหลัก แรงเฉือนในระนาบสูงสุด และความเค้นบนระนาบที่หมุนไปได้ โดยไม่ต้องคำนวณสมการแปลงความเค้นใหม่ทั้งหมดทุกครั้ง

เริ่มจากองค์ประกอบความเค้นระนาบ $\sigma_x$, $\sigma_y$, และ $\tau_{xy}$. วงกลมมีจุดศูนย์กลางเป็น

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

และมีรัศมีเป็น

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

ถ้าคุณต้องการเพียงแรงเค้นหลักและแรงเฉือนในระนาบสูงสุด สมการสองตัวนี้ก็ให้ข้อมูลสำคัญเกือบทั้งหมดแล้ว

วงกลมของมอร์แสดงอะไร

แกนนอนคือความเค้นปกติ $\sigma$ และแกนตั้งคือความเค้นเฉือน $\tau$. ทุกจุดบนวงกลมแทนสภาวะความเค้นบนระนาบหนึ่งระนาบที่ผ่านจุดวัสดุเดียวกัน

จุดศูนย์กลางคือค่าเฉลี่ยของความเค้นปกติ การเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาจะเปลี่ยนความเค้นปกติบนระนาบ ส่วนการเลื่อนขึ้นหรือลงจะเปลี่ยนความเค้นเฉือนบนระนาบนั้น

จุดตัดแกนนอนสองจุดคือแรงเค้นหลัก เพราะที่จุดนั้นความเค้นเฉือนเป็นศูนย์ จุดบนสุดและล่างสุดให้ค่าแรงเฉือนในระนาบสูงสุด และขนาดของมันเท่ากับรัศมี

สูตรที่อ่านได้จากวงกลม

เมื่อทราบ $C$ และ $R$ แล้ว ผลลัพธ์หลักคือ

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

ผลลัพธ์เหล่านี้ใช้กับภาพความเค้นระนาบที่กล่าวถึงที่นี่ หากสภาวะความเค้นเป็นสามมิติเต็มรูปแบบ ค่าแรงเฉือนสูงสุดโดยรวมจะขึ้นอยู่กับชุดของแรงเค้นหลักทั้งหมด ไม่ใช่แค่วงกลมนี้วงเดียว

ถ้าคุณต้องการหามุมของระนาบหลักด้วย ให้ใช้ความสัมพันธ์การแปลงความเค้น

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

เมื่อ $\sigma_x \ne \sigma_y$ และข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายของคุณสอดคล้องกับวงกลมที่วาด

ตัวอย่างคำนวณ: หาแรงเค้นหลัก

สมมติว่าจุดหนึ่งในแผ่นมีค่า

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

ขั้นแรกหาจุดศูนย์กลาง:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

จากนั้นหารัศมี:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

ตอนนี้อ่านค่าแรงเค้นหลักได้เป็น

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

และแรงเฉือนในระนาบสูงสุดคือ

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

ดังนั้นสภาวะความเค้นนี้มีแรงเค้นหลักดึงค่ามากหนึ่งค่า แรงเค้นหลักดึงที่เล็กกว่ามากอีกหนึ่งค่า และมีแรงเฉือนในระนาบสูงสุดเท่ากับ $42.4\ \mathrm{MPa}$. นี่คือประโยชน์เชิงปฏิบัติของวงกลมของมอร์: ภาพร่างเพียงภาพเดียวก็แสดงค่าขีดสุดที่สำคัญได้ทันที

ทำไมมุมบนวงกลมจึงถูกคูณเป็นสองเท่า

เมื่อชิ้นส่วนจริงหมุนไปเป็นมุม $\theta$ จุดบนวงกลมของมอร์จะเคลื่อนที่ไปเป็นมุม $2\theta$. ตัวประกอบสองนี้คือเหตุผลที่คำถามเกี่ยวกับมุมมักดูสับสน จนกว่าคุณจะจำได้ว่าวงกลมนี้ใช้มุมที่ถูกคูณสอง

ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายของแรงเฉือนก็สำคัญเช่นกัน ตำราต่างเล่มอาจกำหนดให้แรงเฉือนบวกอยู่ในทิศทางแนวตั้งตรงข้ามกัน ทำให้วงกลมดูเหมือนสะท้อนกลับด้าน แต่ถ้าใช้ข้อตกลงเดียวกันอย่างสม่ำเสมอ ค่าแรงเค้นหลักก็ยังตรงกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในวงกลมของมอร์

อย่าใช้วงกลมแบบมาตรฐานในห้องเรียนโดยไม่พิจารณาเงื่อนไขก่อน โครงสร้างที่ใช้ที่นี่ตั้งอยู่บนสมมติฐานความเค้นระนาบ ดังนั้นจึงไม่ใช่คำตอบครบถ้วนสำหรับสภาวะความเค้นสามมิติทั่วไป

อย่าสับสนระหว่างจุดศูนย์กลางกับหนึ่งในค่าความเค้นตั้งต้น จุดศูนย์กลางคือค่าเฉลี่ยของความเค้นปกติ ดังนั้นจะเท่ากับ $\sigma_x$ หรือ $\sigma_y$ ได้เฉพาะบางกรณีเท่านั้น

อย่าสลับกันระหว่างรัศมีกับจุดตัดแกน รัศมีให้ค่าแรงเฉือนในระนาบสูงสุด ส่วนแรงเค้นหลักคือ $C + R$ และ $C - R$

ถ้าคุณใช้ทั้งสูตรการแปลงความเค้นและภาพร่างวงกลมร่วมกัน ให้ใช้ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายของแรงเฉือนแบบเดียวกันทั้งสองที่ มิฉะนั้นมุมหรือจุดที่พล็อตอาจออกมากลับด้าน

วงกลมของมอร์ใช้ที่ไหน

วงกลมของมอร์พบได้ในวิชากลศาสตร์ของวัสดุ การออกแบบเครื่องกล การวิเคราะห์โครงสร้าง และการวิเคราะห์ความเสียหาย มันมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อชิ้นส่วนรับแรงหลายแบบพร้อมกัน เช่น การดัดร่วมกับการบิด หรือแรงดึงร่วมกับแรงเฉือน

แม้ซอฟต์แวร์จะคำนวณตัวเลขให้ได้ วงกลมนี้ก็ยังช่วยให้คุณเห็นได้ชัดว่าอะไรมีค่ามาก อะไรลดลงเป็นศูนย์ และระนาบใดวิกฤตที่สุด

ลองทำด้วยตัวเอง

กำหนดให้ $\tau_{xy} = 0$ หรือทำให้ $\sigma_x = \sigma_y$ แล้วลองทำนายลักษณะของวงกลมก่อนคำนวณอะไรเลย ถ้าต้องการไปอีกขั้น ลองตั้งกรณีการแปลงความเค้นของคุณเองด้วยชุดตัวเลขใหม่ แล้วตรวจดูว่าวงกลมสอดคล้องกับสิ่งที่คุณคาดไว้หรือไม่