Círculo de Mohr — Análise de Tensões

O círculo de Mohr é um gráfico para um estado bidimensional de tensões. No caso usual de estado plano de tensões, ele permite ler as tensões principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão em um plano girado sem recalcular toda a transformação a cada vez.

Comece com as componentes de tensão $\sigma_x$, $\sigma_y$ e $\tau_{xy}$. O círculo tem centro

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

e raio

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Se tudo o que você precisa é a tensão principal e a tensão de cisalhamento máxima no plano, essas duas expressões já fornecem quase tudo.

O Que o Círculo de Mohr Mostra

O eixo horizontal é a tensão normal $\sigma$, e o eixo vertical é a tensão de cisalhamento $\tau$. Cada ponto no círculo representa o estado de tensões em algum plano que passa pelo mesmo ponto do material.

O centro é a tensão normal média. Mover para a esquerda ou para a direita altera a tensão normal no plano, e mover para cima ou para baixo altera a tensão de cisalhamento nesse plano.

As duas interseções horizontais são as tensões principais porque ali a tensão de cisalhamento é zero. Os pontos superior e inferior fornecem a tensão de cisalhamento máxima no plano, e seu módulo é o raio.

Fórmulas Que Você Lê no Círculo

Depois de conhecer $C$ e $R$, os principais resultados são

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Esses resultados valem para a representação de estado plano de tensões mostrada aqui. Se o estado de tensões for totalmente tridimensional, a tensão de cisalhamento máxima global depende do conjunto completo de tensões principais, não apenas deste único círculo.

Se você também quiser o ângulo do plano principal, use a relação de transformação de tensões

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

quando $\sigma_x \ne \sigma_y$ e sua convenção de sinais coincidir com a do círculo que você desenhou.

Exemplo Resolvido: Encontrando as Tensões Principais

Suponha que um ponto em uma placa tenha

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Primeiro, encontre o centro:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Depois, encontre o raio:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Agora leia as tensões principais:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

E a tensão de cisalhamento máxima no plano é

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Portanto, o estado de tensões tem uma tensão principal de tração grande, uma tensão principal de tração bem menor e uma tensão de cisalhamento máxima no plano de $42.4\ \mathrm{MPa}$. Esse é o ganho prático do círculo de Mohr: um único esboço mostra imediatamente os extremos importantes.

Por Que o Ângulo no Círculo É Dobrado

Quando o elemento físico gira de um ângulo $\theta$, o ponto no círculo de Mohr se desloca de $2\theta$. Esse fator dois é o motivo de questões sobre ângulos muitas vezes parecerem inconsistentes até você lembrar que o círculo usa ângulos dobrados.

A convenção de sinais para o cisalhamento também importa. Livros diferentes colocam o cisalhamento positivo em direções verticais opostas, então o círculo pode parecer refletido. Se a convenção for usada de forma consistente, os valores das tensões principais ainda coincidem.

Erros Comuns no Círculo de Mohr

Não use o círculo padrão de sala de aula de forma automática. A construção aqui supõe estado plano de tensões, então ela não é a resposta completa para um estado geral de tensões em 3D.

Não confunda o centro com uma das tensões originais. O centro é a tensão normal média, então ele só coincide com $\sigma_x$ ou $\sigma_y$ em casos especiais.

Não confunda o raio com as interseções. O raio fornece a tensão de cisalhamento máxima no plano, enquanto as tensões principais são $C + R$ e $C - R$.

Se você usar ao mesmo tempo as fórmulas de transformação de tensões e um esboço do círculo, mantenha a mesma convenção de sinais para o cisalhamento nos dois casos. Caso contrário, o ângulo ou os pontos plotados podem sair espelhados.

Onde o Círculo de Mohr É Usado

O círculo de Mohr aparece em resistência dos materiais, projeto de máquinas, análise estrutural e análise de falhas. Ele se torna especialmente útil quando uma peça está submetida a carregamentos combinados, como flexão mais torção ou tração mais cisalhamento.

Mesmo quando um software faz as contas, o círculo ainda ajuda você a ver o que é grande, o que cai para zero e quais planos são mais críticos.

Tente Sua Própria Versão

Faça $\tau_{xy} = 0$ ou tome $\sigma_x = \sigma_y$, depois preveja o círculo antes de calcular qualquer coisa. Se quiser ir um passo além, tente seu próprio caso de transformação de tensões com um novo conjunto de valores e verifique se o círculo corresponde à sua intuição.