莫尔圆——应力分析

莫尔圆是表示二维应力状态的图解方法。在常见的平面应力情形下，它可以让你直接读出主应力、最大平面内剪应力，以及旋转某一平面后的应力状态，而不必每次都重新进行完整的应力变换计算。

从平面应力分量 $\sigma_x$、$\sigma_y$ 和 $\tau_{xy}$ 出发。圆心为

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

半径为

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

如果你只需要主应力和最大平面内剪应力，那么这两个表达式几乎已经给出了全部结果。

莫尔圆展示了什么

横轴是正应力 $\sigma$，纵轴是剪应力 $\tau$。圆上的每一个点都表示同一材料点上某一取向平面上的应力状态。

圆心表示平均正应力。向左或向右移动会改变该平面上的正应力，向上或向下移动会改变该平面上的剪应力。

与横轴的两个交点就是主应力，因为这些点上的剪应力为零。圆的最高点和最低点给出最大平面内剪应力，其大小就是半径。

从圆上可直接读出的公式

一旦知道了 $C$ 和 $R$，主要结果就是

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

这些结果对应的是这里讨论的平面应力情形。如果应力状态是完整的三维应力状态，那么总体最大剪应力取决于全部主应力，而不只是这一个圆。

如果你还想求主平面的方向角，可以使用应力变换关系

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

当 $\sigma_x \ne \sigma_y$ 时成立，并且你的符号约定要与所画的莫尔圆保持一致。

例题：求主应力

设某块板中的一点满足

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

先求圆心：

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

再求半径：

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

现在读出主应力：

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

最大平面内剪应力为

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

因此，这个应力状态有一个较大的拉主应力、一个小得多的拉主应力，以及 $42.4\ \mathrm{MPa}$ 的最大平面内剪应力。这正是莫尔圆的实际价值：一张图就能立刻显示出最重要的极值。

为什么圆上的角度会加倍

当实际微元旋转角度为 $\theta$ 时，莫尔圆上的点会移动 $2\theta$。这个 2 倍关系就是为什么角度问题常常看起来不一致，直到你记起莫尔圆使用的是加倍角。

剪应力的符号约定也很重要。不同教材可能把正剪应力画在相反的竖直方向上，因此莫尔圆看起来可能像是镜像翻转的。只要符号约定前后一致，主应力数值仍然会一致。

莫尔圆中的常见错误

不要机械地套用课堂上常见的标准莫尔圆。这里的作图方法假定的是平面应力，因此对于一般三维应力状态，它并不是完整答案。

不要把圆心误认为原始应力分量之一。圆心是平均正应力，所以只有在特殊情况下它才会等于 $\sigma_x$ 或 $\sigma_y$。

不要混淆半径和截距。半径给出最大平面内剪应力，而主应力则是 $C + R$ 和 $C - R$。

如果你同时使用应力变换公式和莫尔圆草图，那么两者中的剪应力符号约定必须一致。否则角度或图上的点可能会出现镜像错误。

莫尔圆的应用场景

莫尔圆常见于材料力学、机械设计、结构分析和失效分析。当零件承受组合载荷时，例如弯曲加扭转，或拉伸加剪切，它尤其有用。

即使软件已经完成了数值计算，莫尔圆仍然能帮助你看清哪些量很大、哪些量降为零，以及哪些平面最危险。

自己动手试一试

令 $\tau_{xy} = 0$，或者令 $\sigma_x = \sigma_y$，然后在计算之前先预测莫尔圆会是什么样子。如果你想再进一步，可以自己设定一组新的应力数据，做一次应力变换，并检查莫尔圆是否符合你的直觉。