Mohrscher Kreis — Spannungsanalyse

Der Mohrsche Kreis ist eine grafische Darstellung für einen zweidimensionalen Spannungszustand. Im üblichen Fall des ebenen Spannungszustands kannst du damit die Hauptspannungen, die maximale Schubspannung in der Ebene und die Spannung auf einer gedrehten Fläche ablesen, ohne jedes Mal die vollständige Transformation neu zu berechnen.

Ausgangspunkt sind die Spannungsanteile $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$. Der Kreis hat den Mittelpunkt

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

und den Radius

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Wenn du nur die Hauptspannungen und die maximale Schubspannung in der Ebene brauchst, liefern diese beiden Ausdrücke schon fast alles.

Was der Mohrsche Kreis zeigt

Die horizontale Achse ist die Normalspannung $\sigma$, die vertikale Achse die Schubspannung $\tau$. Jeder Punkt auf dem Kreis stellt den Spannungszustand auf einer bestimmten Fläche durch denselben Materialpunkt dar.

Der Mittelpunkt ist die mittlere Normalspannung. Eine Bewegung nach links oder rechts verändert die Normalspannung auf der Fläche, eine Bewegung nach oben oder unten verändert die Schubspannung auf dieser Fläche.

Die beiden Schnittpunkte mit der horizontalen Achse sind die Hauptspannungen, weil dort die Schubspannung null ist. Der obere und der untere Punkt liefern die maximale Schubspannung in der Ebene, und ihr Betrag ist der Radius.

Formeln, die du aus dem Kreis abliest

Sobald du $C$ und $R$ kennst, sind die wichtigsten Ergebnisse

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Diese Ergebnisse gelten für das hier gezeigte Bild des ebenen Spannungszustands. Wenn der Spannungszustand vollständig dreidimensional ist, hängt die insgesamt maximale Schubspannung von der gesamten Menge der Hauptspannungen ab und nicht nur von diesem einzelnen Kreis.

Wenn du zusätzlich den Winkel der Hauptspannungsflächen bestimmen willst, verwende die Spannungs-Transformationsbeziehung

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

für den Fall $\sigma_x \ne \sigma_y$, wobei deine Vorzeichenkonvention zum gezeichneten Kreis passen muss.

Durchgerechnetes Beispiel: Bestimme die Hauptspannungen

Angenommen, ein Punkt in einer Platte hat

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Bestimme zuerst den Mittelpunkt:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Dann den Radius:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Nun liest du die Hauptspannungen ab:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

Und die maximale Schubspannung in der Ebene ist

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Der Spannungszustand hat also eine große Zug-Hauptspannung, eine deutlich kleinere Zug-Hauptspannung und eine maximale Schubspannung in der Ebene von $42.4\ \mathrm{MPa}$. Genau das ist der praktische Nutzen des Mohrschen Kreises: Eine einzige Skizze zeigt die wichtigen Extremwerte sofort.

Warum der Winkel auf dem Kreis verdoppelt wird

Wenn sich das reale Element um einen Winkel $\theta$ dreht, bewegt sich der Punkt auf dem Mohrschen Kreis um $2\theta$. Dieser Faktor zwei ist der Grund, warum Winkelangaben oft widersprüchlich wirken, bis man sich daran erinnert, dass der Kreis mit verdoppelten Winkeln arbeitet.

Auch die Vorzeichenkonvention für die Schubspannung ist wichtig. In verschiedenen Lehrbüchern wird positive Schubspannung in entgegengesetzte vertikale Richtungen eingetragen, sodass der Kreis gespiegelt erscheinen kann. Wenn die Konvention konsequent verwendet wird, stimmen die Werte der Hauptspannungen trotzdem überein.

Häufige Fehler beim Mohrschen Kreis

Verwende den üblichen Kreis aus dem Unterricht nicht blind. Die Konstruktion hier setzt einen ebenen Spannungszustand voraus und ist daher keine vollständige Antwort für einen allgemeinen dreidimensionalen Spannungszustand.

Verwechsle den Mittelpunkt nicht mit einer der ursprünglichen Spannungen. Der Mittelpunkt ist die mittlere Normalspannung und stimmt deshalb nur in Sonderfällen mit $\sigma_x$ oder $\sigma_y$ überein.

Verwechsle auch nicht den Radius mit den Achsenschnittpunkten. Der Radius liefert die maximale Schubspannung in der Ebene, während die Hauptspannungen $C + R$ und $C - R$ sind.

Wenn du Spannungs-Transformationsformeln und eine Kreisskizze zusammen verwendest, halte an beiden Stellen dieselbe Vorzeichenkonvention für die Schubspannung ein. Sonst können der Winkel oder die eingezeichneten Punkte gespiegelt herauskommen.

Wo der Mohrsche Kreis verwendet wird

Der Mohrsche Kreis taucht in der Festigkeitslehre, im Maschinenelemente-Entwurf, in der Strukturanalyse und in der Schadensanalyse auf. Besonders nützlich wird er, wenn ein Bauteil kombiniert belastet wird, zum Beispiel durch Biegung plus Torsion oder Zug plus Schub.

Selbst wenn Software die Rechnung übernimmt, hilft der Kreis immer noch dabei zu erkennen, was groß ist, was auf null fällt und welche Flächen am kritischsten sind.

Probiere deine eigene Variante aus

Setze $\tau_{xy} = 0$ oder wähle $\sigma_x = \sigma_y$ und sage dann den Kreis voraus, bevor du etwas berechnest. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, probiere einen eigenen Fall der Spannungstransformation mit neuen Zahlen aus und prüfe, ob der Kreis zu deiner Intuition passt.