Vòng tròn Mohr — Phân tích ứng suất

Vòng tròn Mohr là một đồ thị biểu diễn trạng thái ứng suất hai chiều. Trong bài toán ứng suất phẳng thường gặp, nó cho phép bạn đọc trực tiếp ứng suất chính, ứng suất cắt cực đại trong mặt phẳng và ứng suất trên một mặt phẳng quay mà không cần tính lại toàn bộ phép biến đổi mỗi lần.

Bắt đầu với các thành phần ứng suất phẳng $\sigma_x$, $\sigma_y$ và $\tau_{xy}$. Vòng tròn có tâm

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

và bán kính

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Nếu bạn chỉ cần ứng suất chính và ứng suất cắt cực đại trong mặt phẳng, thì hai biểu thức này đã cho gần như toàn bộ kết quả.

Vòng Tròn Mohr Cho Thấy Điều Gì

Trục ngang là ứng suất pháp $\sigma$, còn trục đứng là ứng suất cắt $\tau$. Mỗi điểm trên vòng tròn biểu diễn trạng thái ứng suất trên một mặt phẳng nào đó đi qua cùng một điểm vật liệu.

Tâm là ứng suất pháp trung bình. Di chuyển sang trái hoặc sang phải làm thay đổi ứng suất pháp trên mặt phẳng, còn di chuyển lên hoặc xuống làm thay đổi ứng suất cắt trên mặt phẳng đó.

Hai giao điểm với trục ngang là các ứng suất chính vì tại đó ứng suất cắt bằng không. Điểm trên cùng và dưới cùng cho ứng suất cắt cực đại trong mặt phẳng, và độ lớn của nó chính là bán kính.

Các Công Thức Đọc Từ Vòng Tròn

Khi đã biết $C$ và $R$, các kết quả chính là

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Các kết quả này áp dụng cho mô hình ứng suất phẳng đang xét ở đây. Nếu trạng thái ứng suất là ba chiều hoàn toàn, thì ứng suất cắt cực đại tổng quát phụ thuộc vào toàn bộ tập ứng suất chính, không chỉ một vòng tròn này.

Nếu bạn cũng muốn tìm góc của mặt phẳng chính, hãy dùng hệ thức biến đổi ứng suất

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

khi $\sigma_x \ne \sigma_y$ và quy ước dấu của bạn khớp với vòng tròn đã vẽ.

Ví Dụ Có Lời Giải: Tìm Ứng Suất Chính

Giả sử một điểm trong tấm có

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Trước hết tìm tâm:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Sau đó tìm bán kính:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Bây giờ đọc các ứng suất chính:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

Và ứng suất cắt cực đại trong mặt phẳng là

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Vậy trạng thái ứng suất này có một ứng suất chính kéo lớn, một ứng suất chính kéo nhỏ hơn nhiều và một ứng suất cắt cực đại trong mặt phẳng bằng $42.4\ \mathrm{MPa}$. Đó là lợi ích thực tế của vòng tròn Mohr: chỉ với một hình vẽ, bạn thấy ngay các giá trị cực trị quan trọng.

Vì Sao Góc Trên Vòng Tròn Bị Nhân Đôi

Khi phần tử vật lý quay một góc $\theta$, điểm trên vòng tròn Mohr sẽ di chuyển một góc $2\theta$. Hệ số 2 này là lý do các bài toán về góc thường gây cảm giác không nhất quán cho đến khi bạn nhớ rằng vòng tròn dùng góc gấp đôi.

Quy ước dấu của ứng suất cắt cũng rất quan trọng. Các giáo trình khác nhau có thể đặt ứng suất cắt dương theo hai chiều thẳng đứng ngược nhau, nên vòng tròn có thể trông như bị phản chiếu. Nếu quy ước được dùng nhất quán, các giá trị ứng suất chính vẫn sẽ trùng nhau.

Những Sai Lầm Thường Gặp Với Vòng Tròn Mohr

Đừng dùng máy móc vòng tròn Mohr kiểu lớp học trong mọi trường hợp. Cách dựng ở đây giả thiết ứng suất phẳng, nên không phải là câu trả lời đầy đủ cho trạng thái ứng suất 3D tổng quát.

Đừng nhầm tâm với một trong các ứng suất ban đầu. Tâm là ứng suất pháp trung bình, nên chỉ trùng với $\sigma_x$ hoặc $\sigma_y$ trong những trường hợp đặc biệt.

Đừng nhầm giữa bán kính và các giao điểm. Bán kính cho ứng suất cắt cực đại trong mặt phẳng, còn các ứng suất chính là $C + R$ và $C - R$.

Nếu bạn dùng đồng thời công thức biến đổi ứng suất và hình vẽ vòng tròn, hãy giữ cùng một quy ước dấu cho ứng suất cắt ở cả hai nơi. Nếu không, góc hoặc các điểm biểu diễn có thể bị đối xứng ngược.

Vòng Tròn Mohr Được Dùng Ở Đâu

Vòng tròn Mohr xuất hiện trong sức bền vật liệu, thiết kế máy, phân tích kết cấu và phân tích hư hỏng. Nó đặc biệt hữu ích khi một chi tiết chịu tải kết hợp, chẳng hạn như uốn cộng xoắn hoặc kéo cộng cắt.

Ngay cả khi phần mềm thực hiện phép tính, vòng tròn vẫn giúp bạn nhìn ra đại lượng nào lớn, đại lượng nào giảm về 0 và mặt phẳng nào là nguy hiểm nhất.

Tự Thử Một Phiên Bản Của Bạn

Hãy đặt $\tau_{xy} = 0$ hoặc cho $\sigma_x = \sigma_y$, rồi dự đoán vòng tròn trước khi tính toán. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy tự chọn một bộ số mới cho bài toán biến đổi ứng suất và kiểm tra xem vòng tròn có khớp với trực giác của bạn hay không.