모어 원 — 응력 해석

모어 원은 2차원 응력 상태를 나타내는 그래프입니다. 일반적인 평면응력 조건에서는 매번 전체 응력 변환을 다시 계산하지 않아도 주응력, 최대 평면내 전단응력, 그리고 회전된 면에서의 응력을 읽어낼 수 있습니다.

평면응력 성분 $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$에서 시작합니다. 원의 중심은

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

이고 반지름은

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

입니다.

주응력과 최대 평면내 전단응력만 필요하다면, 이 두 식만으로도 거의 모든 것을 구할 수 있습니다.

모어 원이 보여 주는 것

가로축은 수직응력 $\sigma$, 세로축은 전단응력 $\tau$입니다. 원 위의 모든 점은 같은 재료점에서 어떤 면에 작용하는 응력 상태를 나타냅니다.

중심은 평균 수직응력입니다. 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하면 그 면의 수직응력이 바뀌고, 위나 아래로 이동하면 그 면의 전단응력이 바뀝니다.

가로축과 만나는 두 점은 그곳에서 전단응력이 0이므로 주응력입니다. 원의 맨 위와 맨 아래 점은 최대 평면내 전단응력을 나타내며, 그 크기는 반지름과 같습니다.

원에서 읽는 공식

$C$와 $R$를 알면 주요 결과는 다음과 같습니다.

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

이 결과들은 여기서 다루는 평면응력 그림에 대한 것입니다. 응력 상태가 완전한 3차원이라면, 전체 최대 전단응력은 이 하나의 원만이 아니라 전체 주응력 집합에 의해 결정됩니다.

주평면의 각도도 구하고 싶다면, 응력 변환 관계식

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

을 사용합니다. 단, $\sigma_x \ne \sigma_y$이어야 하고 사용한 부호 규약이 그린 원과 일치해야 합니다.

예제: 주응력 구하기

어떤 판의 한 점에서

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

라고 합시다.

먼저 중심을 구합니다.

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

다음으로 반지름을 구합니다.

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

이제 주응력을 읽습니다.

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

그리고 최대 평면내 전단응력은

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

입니다.

따라서 이 응력 상태는 하나의 큰 인장 주응력, 하나의 훨씬 작은 인장 주응력, 그리고 $42.4\ \mathrm{MPa}$의 최대 평면내 전단응력을 가집니다. 이것이 모어 원의 실질적인 장점입니다. 스케치 하나로 중요한 극값들을 바로 확인할 수 있습니다.

원에서 각도가 두 배가 되는 이유

실제 요소가 $\theta$만큼 회전하면, 모어 원 위의 점은 $2\theta$만큼 이동합니다. 각도 문제에서 자주 헷갈리는 이유가 바로 이 2배 관계 때문입니다. 모어 원에서는 각도를 두 배로 사용한다는 점을 기억해야 합니다.

전단응력의 부호 규약도 중요합니다. 교재마다 양의 전단응력을 세로축의 반대 방향에 두는 경우가 있어서 원이 좌우가 아니라 상하로 뒤집힌 것처럼 보일 수 있습니다. 하지만 규약만 일관되게 쓰면 주응력 값은 동일합니다.

모어 원에서 흔한 실수

교실에서 배우는 표준 원을 무조건 적용하면 안 됩니다. 여기의 구성은 평면응력을 가정하므로, 일반적인 3차원 응력 상태에 대한 완전한 해답은 아닙니다.

중심을 원래의 응력 성분 중 하나와 혼동하지 마세요. 중심은 평균 수직응력이므로 특별한 경우에만 $\sigma_x$ 또는 $\sigma_y$와 일치합니다.

반지름과 절편을 혼동하지 마세요. 반지름은 최대 평면내 전단응력을 주고, 주응력은 $C + R$와 $C - R$입니다.

응력 변환 공식과 원 스케치를 함께 사용할 때는 두 곳에서 같은 전단응력 부호 규약을 유지해야 합니다. 그렇지 않으면 각도나 표시한 점이 거울상처럼 뒤집혀 나올 수 있습니다.

모어 원의 활용 분야

모어 원은 재료역학, 기계설계, 구조해석, 파손 해석에서 자주 등장합니다. 특히 굽힘과 비틀림이 함께 작용하거나 인장과 전단이 동시에 작용하는 것처럼 복합 하중을 받는 부품에서 매우 유용합니다.

소프트웨어가 계산을 대신해 주더라도, 모어 원은 무엇이 큰지, 무엇이 0으로 떨어지는지, 어떤 면이 가장 위험한지를 직관적으로 보여 줍니다.

직접 해 보기

$\tau_{xy} = 0$으로 두거나 $\sigma_x = \sigma_y$가 되게 한 뒤, 계산하기 전에 원의 모양을 먼저 예측해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면 새로운 수치로 직접 응력 변환 문제를 만들어 보고, 모어 원이 자신의 직관과 맞는지 확인해 보세요.