Κύκλος του Mohr — Ανάλυση Τάσεων

Ο κύκλος του Mohr είναι ένα γράφημα για μια δισδιάστατη κατάσταση τάσεων. Στη συνήθη περίπτωση της επίπεδης τάσης, σου επιτρέπει να διαβάζεις τις κύριες τάσεις, τη μέγιστη εντός επιπέδου διατμητική τάση και την τάση σε ένα περιστραμμένο επίπεδο χωρίς να ξανακάνεις κάθε φορά ολόκληρο τον μετασχηματισμό.

Ξεκίνα από τις συνιστώσες επίπεδης τάσης $\sigma_x$, $\sigma_y$ και $\tau_{xy}$. Ο κύκλος έχει κέντρο

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

και ακτίνα

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Αν το μόνο που χρειάζεσαι είναι οι κύριες τάσεις και η μέγιστη εντός επιπέδου διατμητική τάση, αυτές οι δύο εκφράσεις δίνουν ήδη σχεδόν όλα όσα χρειάζεσαι.

Τι Δείχνει ο Κύκλος του Mohr

Ο οριζόντιος άξονας είναι η ορθή τάση $\sigma$, και ο κατακόρυφος άξονας είναι η διατμητική τάση $\tau$. Κάθε σημείο πάνω στον κύκλο παριστάνει την κατάσταση τάσεων σε κάποιο επίπεδο που περνά από το ίδιο σημείο του υλικού.

Το κέντρο είναι η μέση ορθή τάση. Η μετακίνηση προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά αλλάζει την ορθή τάση στο επίπεδο, ενώ η μετακίνηση προς τα πάνω ή προς τα κάτω αλλάζει τη διατμητική τάση σε αυτό το επίπεδο.

Τα δύο οριζόντια σημεία τομής είναι οι κύριες τάσεις, επειδή εκεί η διατμητική τάση είναι μηδέν. Τα πάνω και κάτω σημεία δίνουν τη μέγιστη εντός επιπέδου διατμητική τάση, και το μέτρο της είναι η ακτίνα.

Τύποι που Διαβάζεις από τον Κύκλο

Μόλις γνωρίζεις τα $C$ και $R$, τα βασικά αποτελέσματα είναι

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Αυτά τα αποτελέσματα αφορούν την εικόνα της επίπεδης τάσης που παρουσιάζεται εδώ. Αν η κατάσταση τάσεων είναι πλήρως τρισδιάστατη, η συνολική μέγιστη διατμητική τάση εξαρτάται από ολόκληρο το σύνολο των κύριων τάσεων και όχι μόνο από αυτόν τον έναν κύκλο.

Αν θέλεις και τη γωνία του κύριου επιπέδου, χρησιμοποίησε τη σχέση μετασχηματισμού τάσεων

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

όταν $\sigma_x \ne \sigma_y$ και η σύμβαση προσήμων σου ταιριάζει με τον κύκλο που σχεδίασες.

Λυμένο Παράδειγμα: Βρες τις Κύριες Τάσεις

Έστω ότι ένα σημείο σε μια πλάκα έχει

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Πρώτα βρες το κέντρο:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Έπειτα βρες την ακτίνα:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Τώρα διάβασε τις κύριες τάσεις:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

Και η μέγιστη εντός επιπέδου διατμητική τάση είναι

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Άρα η κατάσταση τάσεων έχει μία μεγάλη εφελκυστική κύρια τάση, μία πολύ μικρότερη εφελκυστική κύρια τάση και μέγιστη εντός επιπέδου διατμητική τάση $42.4\ \mathrm{MPa}$. Αυτό είναι το πρακτικό όφελος του κύκλου του Mohr: ένα μόνο σκαρίφημα δείχνει αμέσως τα σημαντικά ακραία μεγέθη.

Γιατί η Γωνία στον Κύκλο Διπλασιάζεται

Όταν το πραγματικό στοιχείο περιστρέφεται κατά γωνία $\theta$, το σημείο στον κύκλο του Mohr μετακινείται κατά $2\theta$. Αυτός ο παράγοντας 2 είναι ο λόγος που τα ερωτήματα με γωνίες συχνά φαίνονται ασυνεπή, μέχρι να θυμηθείς ότι ο κύκλος χρησιμοποιεί διπλάσιες γωνίες.

Σημασία έχει επίσης και η σύμβαση προσήμου της διατμητικής τάσης. Διαφορετικά συγγράμματα τοποθετούν τη θετική διατμητική τάση σε αντίθετες κατακόρυφες κατευθύνσεις, οπότε ο κύκλος μπορεί να φαίνεται κατοπτρισμένος. Αν η σύμβαση χρησιμοποιείται με συνέπεια, οι τιμές των κύριων τάσεων παραμένουν ίδιες.

Συνηθισμένα Λάθη στον Κύκλο του Mohr

Μην χρησιμοποιείς άκριτα τον τυπικό κύκλο που διδάσκεται στην τάξη. Η κατασκευή εδώ υποθέτει επίπεδη τάση, άρα δεν είναι η πλήρης απάντηση για μια γενική τρισδιάστατη κατάσταση τάσεων.

Μη συγχέεις το κέντρο με μία από τις αρχικές τάσεις. Το κέντρο είναι η μέση ορθή τάση, άρα συμπίπτει με τη $\sigma_x$ ή τη $\sigma_y$ μόνο σε ειδικές περιπτώσεις.

Μη μπερδεύεις την ακτίνα με τα σημεία τομής. Η ακτίνα δίνει τη μέγιστη εντός επιπέδου διατμητική τάση, ενώ οι κύριες τάσεις είναι $C + R$ και $C - R$.

Αν χρησιμοποιείς μαζί τους τύπους μετασχηματισμού τάσεων και ένα σκαρίφημα του κύκλου, κράτησε την ίδια σύμβαση προσήμων για τη διατμητική τάση και στα δύο. Αλλιώς η γωνία ή τα σχεδιασμένα σημεία μπορεί να βγουν κατοπτρισμένα.

Πού Χρησιμοποιείται ο Κύκλος του Mohr

Ο κύκλος του Mohr εμφανίζεται στη μηχανική των υλικών, στον σχεδιασμό μηχανών, στη στατική ανάλυση κατασκευών και στην ανάλυση αστοχίας. Γίνεται ιδιαίτερα χρήσιμος όταν ένα εξάρτημα δέχεται συνδυασμένη φόρτιση, όπως κάμψη μαζί με στρέψη ή εφελκυσμό μαζί με διάτμηση.

Ακόμη κι όταν το λογισμικό κάνει τους υπολογισμούς, ο κύκλος εξακολουθεί να σε βοηθά να δεις τι είναι μεγάλο, τι μηδενίζεται και ποια επίπεδα είναι τα πιο κρίσιμα.

Δοκίμασε τη Δική σου Εκδοχή

Θέσε $\tau_{xy} = 0$ ή κάνε $\sigma_x = \sigma_y$, και μετά προσπάθησε να προβλέψεις τον κύκλο πριν υπολογίσεις οτιδήποτε. Αν θέλεις να προχωρήσεις ένα βήμα παραπέρα, δοκίμασε τη δική σου περίπτωση μετασχηματισμού τάσεων με ένα νέο σύνολο αριθμών και έλεγξε αν ο κύκλος συμφωνεί με τη διαίσθησή σου.