Mohr Çemberi — Gerilme Analizi

Mohr çemberi, iki boyutlu bir gerilme durumunu gösteren grafiksel bir yöntemdir. Yaygın düzlem gerilme durumunda, her seferinde tüm dönüşüm hesabını yeniden yapmadan asal gerilmeleri, düzlem içi maksimum kayma gerilmesini ve döndürülmüş bir düzlemdeki gerilmeyi okumanızı sağlar.

$\sigma_x$, $\sigma_y$ ve $\tau_{xy}$ düzlem gerilme bileşenleriyle başlayın. Çemberin merkezi

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

ve yarıçapı

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

şeklindedir.

İhtiyacınız olan tek şey asal gerilme ve düzlem içi maksimum kayma gerilmesiyse, bu iki ifade zaten neredeyse her şeyi verir.

Mohr Çemberi Ne Gösterir

Yatay eksen normal gerilme $\sigma$, düşey eksen ise kayma gerilmesi $\tau$ eksenidir. Çember üzerindeki her nokta, aynı malzeme noktasından geçen bir düzlemdeki gerilme durumunu temsil eder.

Merkez, ortalama normal gerilmedir. Sağa veya sola gitmek düzlem üzerindeki normal gerilmeyi değiştirir; yukarı veya aşağı gitmek ise o düzlemdeki kayma gerilmesini değiştirir.

Yatay ekseni kestiği iki nokta asal gerilmelerdir, çünkü bu noktalarda kayma gerilmesi sıfırdır. En üst ve en alt noktalar düzlem içi maksimum kayma gerilmesini verir ve bunun büyüklüğü yarıçapa eşittir.

Çemberden Okunan Formüller

$C$ ve $R$ bilindiğinde, temel sonuçlar şunlardır:

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Bu sonuçlar burada gösterilen düzlem gerilme görünümü içindir. Gerilme durumu tam olarak üç boyutluysa, genel maksimum kayma gerilmesi yalnızca bu tek çembere değil, asal gerilmelerin tamamına bağlıdır.

Asal düzlemin açısını da istiyorsanız, gerilme dönüşüm bağıntısını kullanın:

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

Bu ifade, $\sigma_x \ne \sigma_y$ olduğunda ve işaret kuralınız çizdiğiniz çemberle uyumlu olduğunda geçerlidir.

Çözümlü Örnek: Asal Gerilmeleri Bulma

Bir levhadaki bir nokta için

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

olsun.

Önce merkezi bulun:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Sonra yarıçapı bulun:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Şimdi asal gerilmeleri okuyun:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

Ve düzlem içi maksimum kayma gerilmesi

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

olur.

Buna göre gerilme durumunda bir büyük çekme asal gerilmesi, çok daha küçük bir çekme asal gerilmesi ve $42.4\ \mathrm{MPa}$ değerinde bir düzlem içi maksimum kayma gerilmesi vardır. Mohr çemberinin pratik faydası budur: tek bir çizim, önemli uç değerleri hemen gösterir.

Çemberdeki Açının Neden İki Kat Olduğu

Fiziksel eleman $\theta$ kadar döndüğünde, Mohr çemberindeki nokta $2\theta$ kadar hareket eder. Açılarla ilgili soruların bazen tutarsız görünmesinin nedeni bu iki katsayısıdır; çünkü çember iki kat açı kullanır.

Kayma gerilmesinin işaret kuralı da önemlidir. Farklı ders kitapları pozitif kaymayı düşey eksende zıt yönlerde gösterebilir, bu yüzden çember yansıtılmış gibi görünebilir. İşaret kuralı tutarlı kullanıldığında, asal gerilme değerleri yine aynı çıkar.

Mohr Çemberinde Yaygın Hatalar

Standart sınıf içi çemberi düşünmeden kullanmayın. Buradaki kurgu düzlem gerilme varsayımına dayanır; bu yüzden genel bir 3B gerilme durumu için tam cevap değildir.

Merkezi, başlangıçtaki gerilmelerden biriyle karıştırmayın. Merkez ortalama normal gerilmedir; dolayısıyla yalnızca özel durumlarda $\sigma_x$ veya $\sigma_y$ ile aynı olur.

Yarıçap ile eksen kesişimlerini karıştırmayın. Yarıçap düzlem içi maksimum kayma gerilmesini verir; asal gerilmeler ise $C + R$ ve $C - R$ değerleridir.

Gerilme dönüşüm formüllerini ve çember çizimini birlikte kullanıyorsanız, her iki yerde de kayma için aynı işaret kuralını koruyun. Aksi halde açı ya da çizilen noktalar aynalanmış çıkabilir.

Mohr Çemberi Nerede Kullanılır

Mohr çemberi; malzeme mekaniği, makine tasarımı, yapı analizi ve hasar analizinde kullanılır. Özellikle bir parça eğilme ile burulma veya çekme ile kayma gibi birleşik yükler taşıdığında çok yararlı hale gelir.

Hesapları yazılım yapsa bile, çember yine de neyin büyük olduğunu, neyin sıfıra düştüğünü ve hangi düzlemlerin en kritik olduğunu görmenize yardımcı olur.

Kendi Versiyonunuzu Deneyin

$\tau_{xy} = 0$ alın veya $\sigma_x = \sigma_y$ yapın, sonra herhangi bir hesap yapmadan önce çemberin nasıl olacağını tahmin edin. Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, yeni bir sayı kümesiyle kendi gerilme dönüşüm durumunuzu deneyin ve çemberin sezginizle uyuşup uyuşmadığını kontrol edin.