Cerchio di Mohr — Analisi degli sforzi

Il cerchio di Mohr è un grafico per uno stato di sforzo bidimensionale. Nel consueto caso di stato piano di sforzo, permette di leggere gli sforzi principali, il massimo sforzo di taglio nel piano e lo stato di sforzo su un piano ruotato senza ricalcolare ogni volta l'intera trasformazione.

Si parte dalle componenti di sforzo piano $\sigma_x$, $\sigma_y$ e $\tau_{xy}$. Il cerchio ha centro

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

e raggio

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Se ti servono solo gli sforzi principali e il massimo sforzo di taglio nel piano, queste due espressioni forniscono già quasi tutto.

Cosa mostra il cerchio di Mohr

L'asse orizzontale è lo sforzo normale $\sigma$, mentre l'asse verticale è lo sforzo di taglio $\tau$. Ogni punto sul cerchio rappresenta lo stato di sforzo su un certo piano passante per lo stesso punto materiale.

Il centro è lo sforzo normale medio. Spostarsi a sinistra o a destra cambia lo sforzo normale sul piano, mentre spostarsi verso l'alto o verso il basso cambia lo sforzo di taglio su quel piano.

Le due intersezioni con l'asse orizzontale sono gli sforzi principali perché lì lo sforzo di taglio è nullo. I punti più alto e più basso forniscono il massimo sforzo di taglio nel piano, e il suo valore è il raggio.

Formule che si leggono dal cerchio

Una volta noti $C$ e $R$, i risultati principali sono

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Questi risultati valgono per la rappresentazione di stato piano di sforzo mostrata qui. Se lo stato di sforzo è completamente tridimensionale, il massimo sforzo di taglio complessivo dipende dall'intero insieme degli sforzi principali, non solo da questo singolo cerchio.

Se vuoi anche l'angolo dei piani principali, usa la relazione di trasformazione degli sforzi

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

quando $\sigma_x \ne \sigma_y$ e la convenzione dei segni coincide con quella del cerchio che hai tracciato.

Esempio svolto: trovare gli sforzi principali

Supponi che un punto di una piastra abbia

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Per prima cosa trova il centro:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Poi trova il raggio:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Ora leggi gli sforzi principali:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

E il massimo sforzo di taglio nel piano è

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Quindi lo stato di sforzo ha uno sforzo principale di trazione elevato, un secondo sforzo principale di trazione molto più piccolo e un massimo sforzo di taglio nel piano pari a $42.4\ \mathrm{MPa}$. Questo è il vantaggio pratico del cerchio di Mohr: un solo schizzo mostra subito i valori estremi più importanti.

Perché l'angolo sul cerchio è raddoppiato

Quando l'elemento fisico ruota di un angolo $\theta$, il punto sul cerchio di Mohr si sposta di $2\theta$. Questo fattore due spiega perché le domande sugli angoli spesso sembrano incoerenti finché non ricordi che il cerchio usa angoli raddoppiati.

Anche la convenzione del segno per il taglio è importante. Testi diversi collocano il taglio positivo in direzioni verticali opposte, quindi il cerchio può apparire riflesso. Se la convenzione viene usata in modo coerente, i valori degli sforzi principali restano comunque gli stessi.

Errori comuni nel cerchio di Mohr

Non usare alla cieca il classico cerchio visto a lezione. La costruzione qui assume uno stato piano di sforzo, quindi non è la risposta completa per un generico stato di sforzo tridimensionale.

Non confondere il centro con uno degli sforzi originali. Il centro è lo sforzo normale medio, quindi coincide con $\sigma_x$ o $\sigma_y$ solo in casi particolari.

Non confondere il raggio con le intersezioni. Il raggio fornisce il massimo sforzo di taglio nel piano, mentre gli sforzi principali sono $C + R$ e $C - R$.

Se usi insieme le formule di trasformazione degli sforzi e uno schizzo del cerchio, mantieni la stessa convenzione dei segni per il taglio in entrambi i casi. Altrimenti l'angolo o i punti tracciati possono risultare specchiati.

Dove si usa il cerchio di Mohr

Il cerchio di Mohr compare nella scienza delle costruzioni, nella progettazione meccanica, nell'analisi strutturale e nell'analisi dei guasti. Diventa particolarmente utile quando un componente è soggetto a carichi combinati, come flessione più torsione oppure trazione più taglio.

Anche quando i calcoli vengono eseguiti dal software, il cerchio aiuta comunque a vedere quali valori sono grandi, quali si annullano e quali piani sono più critici.

Prova una tua versione

Poni $\tau_{xy} = 0$ oppure fai $\sigma_x = \sigma_y$, poi prevedi il cerchio prima di calcolare qualsiasi cosa. Se vuoi fare un passo in più, prova un tuo caso di trasformazione degli sforzi con un nuovo insieme di valori e verifica se il cerchio corrisponde alla tua intuizione.