Koło Mohra — analiza naprężeń

Koło Mohra to wykres przedstawiający dwuwymiarowy stan naprężenia. W typowym przypadku płaskiego stanu naprężenia pozwala odczytać naprężenia główne, maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie oraz naprężenie na obróconej płaszczyźnie bez ponownego wykonywania pełnej transformacji za każdym razem.

Zacznij od składowych płaskiego stanu naprężenia: $\sigma_x$, $\sigma_y$ i $\tau_{xy}$. Koło ma środek

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

oraz promień

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Jeśli potrzebujesz tylko naprężeń głównych i maksymalnego naprężenia stycznego w płaszczyźnie, te dwa wyrażenia dają już prawie wszystko.

Co pokazuje koło Mohra

Oś pozioma to naprężenie normalne $\sigma$, a oś pionowa to naprężenie styczne $\tau$. Każdy punkt na kole reprezentuje stan naprężenia na pewnej płaszczyźnie przechodzącej przez ten sam punkt materiału.

Środek odpowiada średniemu naprężeniu normalnemu. Przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia naprężenie normalne na danej płaszczyźnie, a przesunięcie w górę lub w dół zmienia naprężenie styczne na tej płaszczyźnie.

Dwa punkty przecięcia z osią poziomą to naprężenia główne, ponieważ naprężenie styczne jest tam równe zeru. Punkty najwyższy i najniższy dają maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie, a jego wartość bezwzględna jest równa promieniowi.

Wzory odczytywane z koła

Gdy znasz już $C$ i $R$, główne wyniki są następujące:

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Wyniki te dotyczą obrazu płaskiego stanu naprężenia przedstawionego tutaj. Jeśli stan naprężenia jest w pełni trójwymiarowy, całkowite maksymalne naprężenie styczne zależy od pełnego zestawu naprężeń głównych, a nie tylko od tego jednego koła.

Jeśli chcesz także wyznaczyć kąt płaszczyzny głównej, użyj zależności transformacji naprężeń

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

gdy $\sigma_x \ne \sigma_y$ i przyjęta konwencja znaków jest zgodna z narysowanym kołem.

Przykład obliczeniowy: wyznacz naprężenia główne

Załóżmy, że punkt w płycie ma

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Najpierw wyznacz środek:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Następnie wyznacz promień:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Teraz odczytaj naprężenia główne:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

A maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie wynosi

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Zatem stan naprężenia ma jedno duże główne naprężenie rozciągające, jedno znacznie mniejsze główne naprężenie rozciągające oraz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie równe $42.4\ \mathrm{MPa}$. Na tym polega praktyczna zaleta koła Mohra: jeden szkic od razu pokazuje najważniejsze wartości skrajne.

Dlaczego kąt na kole jest podwojony

Gdy rzeczywisty element obraca się o kąt $\theta$, punkt na kole Mohra przesuwa się o $2\theta$. Ten współczynnik dwa sprawia, że pytania o kąty często wydają się niespójne, dopóki nie pamiętasz, że na kole używa się podwojonych kątów.

Znaczenie ma także konwencja znaku naprężenia stycznego. Różne podręczniki umieszczają dodatnie naprężenie styczne w przeciwnych kierunkach osi pionowej, więc koło może wyglądać jak odbite lustrzanie. Jeśli jednak konwencja jest stosowana konsekwentnie, wartości naprężeń głównych pozostają zgodne.

Typowe błędy przy stosowaniu koła Mohra

Nie używaj bezrefleksyjnie standardowego szkolnego schematu. Przedstawiona tu konstrukcja zakłada płaski stan naprężenia, więc nie daje pełnej odpowiedzi dla ogólnego trójwymiarowego stanu naprężenia.

Nie myl środka z jednym z początkowych naprężeń. Środek to średnie naprężenie normalne, więc pokrywa się z $\sigma_x$ lub $\sigma_y$ tylko w szczególnych przypadkach.

Nie myl promienia z punktami przecięcia osi. Promień daje maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie, natomiast naprężenia główne to $C + R$ oraz $C - R$.

Jeśli jednocześnie używasz wzorów transformacji naprężeń i szkicu koła, zachowaj tę samą konwencję znaku naprężenia stycznego w obu miejscach. W przeciwnym razie kąt lub zaznaczone punkty mogą wyjść jako lustrzane odbicie.

Gdzie stosuje się koło Mohra

Koło Mohra pojawia się w wytrzymałości materiałów, projektowaniu maszyn, analizie konstrukcji i analizie uszkodzeń. Staje się szczególnie użyteczne, gdy element jest obciążony złożenie, na przykład przy zginaniu połączonym ze skręcaniem albo przy rozciąganiu połączonym ze ścinaniem.

Nawet gdy obliczenia wykonuje oprogramowanie, koło nadal pomaga zobaczyć, które wartości są duże, które spadają do zera i które płaszczyzny są najbardziej krytyczne.

Spróbuj własnej wersji

Przyjmij $\tau_{xy} = 0$ albo załóż $\sigma_x = \sigma_y$, a następnie przewidź kształt koła, zanim cokolwiek obliczysz. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, spróbuj własnego przypadku transformacji naprężeń z nowym zestawem liczb i sprawdź, czy koło zgadza się z twoją intuicją.