モールの応力円 — 応力解析

モールの応力円は、二次元の応力状態を表すグラフです。一般的な平面応力の設定では、主応力、面内最大せん断応力、そして回転した面に作用する応力を、毎回変換式をすべて計算し直さなくても読み取れます。

出発点は平面応力成分 $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$ です。円の中心は

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

半径は

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

で与えられます。

必要なのが主応力と面内最大せん断応力だけなら、この2つの式だけでほとんど求まります。

モールの応力円でわかること

横軸は垂直応力 $\sigma$、縦軸はせん断応力 $\tau$ です。円周上の各点は、同じ材料点を通るある面での応力状態を表します。

中心は平均垂直応力です。左右に動くとその面の垂直応力が変わり、上下に動くとその面のせん断応力が変わります。

横軸との2つの交点は、そこでせん断応力がゼロになるので主応力です。円の最上点と最下点は面内最大せん断応力を与え、その大きさは半径に等しくなります。

応力円から読み取る公式

$C$ と $R$ がわかれば、主要な結果は次のとおりです。

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

これらの結果は、ここで扱っている平面応力の図に対するものです。応力状態が完全な三次元である場合、全体の最大せん断応力は、この1つの円だけでなく主応力全体の組に依存します。

主面の角度も求めたいなら、応力変換の関係式

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

を使います。ただし $\sigma_x \ne \sigma_y$ であり、符号規約が描いた応力円と一致している必要があります。

計算例：主応力を求める

ある板の一点で

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

とします。

まず中心を求めます。

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

次に半径を求めます。

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

これで主応力は

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

となります。

また、面内最大せん断応力は

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

です。

したがって、この応力状態では大きな引張主応力が1つ、かなり小さい引張主応力が1つ、そして $42.4\ \mathrm{MPa}$ の面内最大せん断応力があります。これがモールの応力円の実用的な利点です。1つの図で重要な極値をすぐに把握できます。

応力円で角度が2倍になる理由

実際の要素が角度 $\theta$ だけ回転すると、モールの応力円上の点は $2\theta$ だけ移動します。この2倍の関係があるため、角度に関する問題は、応力円では角度が2倍で表されることを思い出すまで混乱しやすくなります。

せん断応力の符号規約も重要です。教科書によっては正のせん断を上下逆向きに取ることがあるため、応力円が上下反転して見えることがあります。符号規約を一貫して使えば、主応力の値自体は一致します。

モールの応力円でよくある間違い

授業でよく見る標準的な応力円を、そのまま機械的に使わないでください。ここでの作図は平面応力を仮定しているので、一般的な三次元応力状態に対する完全な答えではありません。

中心を元の応力成分の1つと混同しないでください。中心は平均垂直応力なので、$\sigma_x$ や $\sigma_y$ と一致するのは特殊な場合だけです。

半径と交点を取り違えないでください。半径は面内最大せん断応力を与え、主応力は $C + R$ と $C - R$ です。

応力変換式と応力円のスケッチを併用する場合は、両方で同じせん断応力の符号規約を使ってください。そうしないと、角度やプロットした点が鏡映したような結果になることがあります。

モールの応力円はどこで使うか

モールの応力円は、材料力学、機械設計、構造解析、破壊解析で使われます。特に、曲げとねじり、あるいは引張とせん断のように、部材に組み合わせ荷重が作用する場合に有用です。

ソフトウェアが計算をしてくれる場合でも、応力円を使うと、何が大きいか、何がゼロになるか、どの面が最も危険かを視覚的に把握できます。

自分でも試してみる

$\tau_{xy} = 0$ とするか、$\sigma_x = \sigma_y$ として、何も計算する前に応力円がどうなるか予想してみてください。さらに一歩進めるなら、自分で別の数値を使った応力変換の例を作り、応力円が直感と一致するか確かめてみましょう。