Círculo de Mohr — Análisis de esfuerzos

El círculo de Mohr es una gráfica para un estado de esfuerzos bidimensional. En la situación habitual de esfuerzo plano, te permite leer los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo sobre un plano girado sin volver a calcular toda la transformación cada vez.

Empieza con las componentes de esfuerzo plano $\sigma_x$, $\sigma_y$ y $\tau_{xy}$. El círculo tiene centro

$$C = \left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)$$

y radio

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

Si solo necesitas el esfuerzo principal y el esfuerzo cortante máximo en el plano, estas dos expresiones ya te dan casi todo.

Qué muestra el círculo de Mohr

El eje horizontal es el esfuerzo normal $\sigma$, y el eje vertical es el esfuerzo cortante $\tau$. Cada punto del círculo representa el estado de esfuerzos sobre algún plano que pasa por el mismo punto del material.

El centro es el esfuerzo normal promedio. Moverse a la izquierda o a la derecha cambia el esfuerzo normal sobre el plano, y moverse hacia arriba o hacia abajo cambia el esfuerzo cortante sobre ese plano.

Las dos intersecciones horizontales son los esfuerzos principales porque allí el esfuerzo cortante es cero. Los puntos superior e inferior dan el esfuerzo cortante máximo en el plano, y su magnitud es el radio.

Fórmulas que se leen del círculo

Una vez que conoces $C$ y $R$, los resultados principales son

$$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + R$$ $$\sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - R$$ $$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = R$$

Estos resultados son para la representación de esfuerzo plano mostrada aquí. Si el estado de esfuerzos es completamente tridimensional, el esfuerzo cortante máximo total depende del conjunto completo de esfuerzos principales, no solo de este único círculo.

Si también quieres el ángulo del plano principal, usa la relación de transformación de esfuerzos

$$\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

cuando $\sigma_x \ne \sigma_y$ y tu convención de signos coincide con la del círculo que dibujaste.

Ejemplo resuelto: hallar los esfuerzos principales

Supón que un punto de una placa tiene

$$\sigma_x = 80\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_y = 20\ \mathrm{MPa}, \quad \tau_{xy} = 30\ \mathrm{MPa}$$

Primero encuentra el centro:

$$C = \left(\frac{80 + 20}{2}, 0\right) = (50, 0)$$

Luego encuentra el radio:

$$R = \sqrt{\left(\frac{80 - 20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1800} \approx 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Ahora lee los esfuerzos principales:

$$\sigma_1 = 50 + 42.4 = 92.4\ \mathrm{MPa}$$ $$\sigma_2 = 50 - 42.4 = 7.6\ \mathrm{MPa}$$

Y el esfuerzo cortante máximo en el plano es

$$\tau_{max,\ in\text{-}plane} = 42.4\ \mathrm{MPa}$$

Así, el estado de esfuerzos tiene un esfuerzo principal de tracción grande, otro esfuerzo principal de tracción mucho menor y un esfuerzo cortante máximo en el plano de $42.4\ \mathrm{MPa}$. Esa es la ventaja práctica del círculo de Mohr: un solo esquema muestra de inmediato los extremos importantes.

Por qué el ángulo en el círculo está duplicado

Cuando el elemento físico gira un ángulo $\theta$, el punto en el círculo de Mohr se mueve un ángulo $2\theta$. Ese factor de dos es la razón por la que las preguntas sobre ángulos suelen parecer inconsistentes hasta que recuerdas que el círculo usa ángulos duplicados.

La convención de signos del cortante también importa. Distintos libros colocan el cortante positivo en direcciones verticales opuestas, así que el círculo puede verse reflejado. Si la convención se usa de forma consistente, los valores de los esfuerzos principales siguen coincidiendo.

Errores comunes en el círculo de Mohr

No uses a ciegas el círculo estándar de clase. La construcción aquí supone esfuerzo plano, así que no es la respuesta completa para un estado general de esfuerzos en 3D.

No confundas el centro con uno de los esfuerzos originales. El centro es el esfuerzo normal promedio, así que solo coincide con $\sigma_x$ o $\sigma_y$ en casos especiales.

No confundas el radio con las intersecciones. El radio da el esfuerzo cortante máximo en el plano, mientras que los esfuerzos principales son $C + R$ y $C - R$.

Si usas al mismo tiempo las fórmulas de transformación de esfuerzos y un esquema del círculo, mantén la misma convención de signos para el cortante en ambos. De lo contrario, el ángulo o los puntos graficados pueden salir reflejados.

Dónde se usa el círculo de Mohr

El círculo de Mohr aparece en mecánica de materiales, diseño de máquinas, análisis estructural y análisis de fallas. Se vuelve especialmente útil cuando una pieza soporta carga combinada, como flexión más torsión o tracción más cortante.

Incluso cuando el software hace los cálculos, el círculo sigue ayudando a ver qué es grande, qué baja a cero y qué planos son los más críticos.

Prueba tu propia versión

Haz $\tau_{xy} = 0$ o toma $\sigma_x = \sigma_y$, y luego predice el círculo antes de calcular nada. Si quieres ir un paso más allá, prueba tu propio caso de transformación de esfuerzos con un nuevo conjunto de valores y comprueba si el círculo coincide con tu intuición.