Deret Pangkat — Jari-Jari Konvergensi & Contoh

Deret pangkat adalah jumlah tak hingga yang dibangun dari pangkat $(x-c)$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

Di sini, $c$ adalah pusat dan bilangan $a_n$ adalah konstanta yang disebut koefisien. Dalam kebanyakan soal, pertanyaan utamanya sederhana: untuk nilai $x$ yang mana deret ini konvergen?

Jawabannya diatur oleh jari-jari konvergensi $R$. Deret pangkat konvergen ketika $|x-c| < R$, divergen ketika $|x-c| > R$, dan memerlukan pemeriksaan titik ujung secara terpisah ketika $|x-c| = R$.

Apa Arti Jari-Jari Konvergensi

Jari-jari konvergensi adalah jarak dari pusat, bukan himpunan nilai $x$. Jika sebuah deret pangkat berpusat di $c$, maka:

• deret konvergen ketika $|x-c| < R$,
• deret divergen ketika $|x-c| > R$,
• kasus batas $|x-c| = R$ harus diuji secara terpisah.

Untuk soal dengan variabel real, jarak itu menjadi interval konvergensi. Jika pusatnya $c$ dan jari-jarinya $R$, maka bagian dalamnya adalah

$$(c-R,\; c+R),$$

tetapi titik ujungnya bisa saja termasuk atau tidak termasuk dalam jawaban akhir.

Mengapa Deret Pangkat Penting

Deret pangkat penting karena memungkinkan Anda memperlakukan fungsi yang rumit seperti polinom yang sangat panjang. Di dalam interval konvergensi, deret ini sering lebih mudah diturunkan, diintegralkan, dan digunakan untuk pendekatan.

Namun, jalan pintas ini punya syarat: operasi per suku tersebut berlaku di dalam interval konvergensi, bukan otomatis di semua tempat.

Contoh Deret Pangkat: Cari Jari-Jari dan Interval

Perhatikan

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

Ini adalah deret pangkat yang berpusat di $c=2$. Untuk mencari jari-jari konvergensi, terapkan uji rasio pada

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

Hitung

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

Uji rasio memberikan konvergensi ketika

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

sehingga

$$|x-2| < 3.$$

Jadi, jari-jari konvergensinya adalah

$$R = 3.$$

Ini memberi interval bagian dalam $(-1,5)$. Sekarang uji titik ujung satu per satu.

Saat $x=5$, deret menjadi

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

yang divergen.

Saat $x=-1$, deret menjadi

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

yang juga divergen karena suku-sukunya bergantian antara $1$ dan $-1$ alih-alih mendekati $0$.

Jadi interval konvergensi akhirnya adalah

$$(-1,5).$$

Inilah alur lengkap dalam satu contoh: tentukan pusat, cari $R$, tulis interval bagian dalam, lalu uji kedua titik ujung secara terpisah.

Kesalahan Umum tentang Jari-Jari Konvergensi

Mencampuradukkan Jari-Jari dan Interval

Jari-jari adalah sebuah bilangan seperti $R=3$. Interval adalah himpunan nilai real $x$, seperti $(-1,5)$. Keduanya saling terkait, tetapi bukan objek yang sama.

Lupa pada Pusat $c$

Dalam $\sum a_n (x-c)^n$, pusatnya adalah $c$, tidak selalu $0$. Jika deret menggunakan $(x-2)^n$, maka uji jaraknya didasarkan pada $|x-2|$, bukan $|x|$.

Melewatkan Uji Titik Ujung

Uji rasio dan uji akar biasanya memberi tahu apa yang terjadi di bagian dalam dan luar, tetapi sering tidak mengatakan apa-apa pada titik ujung. Anda tetap harus memeriksanya satu per satu.

Menganggap Kedua Titik Ujung Berperilaku Sama

Meskipun jari-jarinya sama di kedua sisi, satu titik ujung bisa konvergen sementara yang lain divergen. Perilaku titik ujung bergantung pada deret yang diperoleh setelah substitusi.

Kapan Deret Pangkat Digunakan

Deret pangkat muncul dalam kalkulus, persamaan diferensial, dan pendekatan. Deret ini berguna ketika suatu fungsi sulit ditangani secara langsung tetapi lebih mudah dipelajari di sekitar satu titik melalui ekspansi deretnya.

Deret Taylor dan Maclaurin adalah contoh penting. Keduanya adalah deret pangkat yang dirancang untuk merepresentasikan fungsi secara lokal, jika syarat yang diperlukan terpenuhi.

Coba Deret Pangkat yang Mirip

Coba versi Anda sendiri dengan

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

Tentukan pusatnya, cari jari-jarinya, lalu uji titik ujungnya. Jika Anda ingin satu kasus lain yang masih mirip setelah itu, pelajari deret Taylor dan perhatikan bagaimana gagasan konvergensi yang sama muncul lagi.