Deret Fourier — Rumus, Koefisien & Contoh

Deret Fourier menyatakan fungsi periodik sebagai jumlah gelombang sinus dan cosinus. Secara sederhana, deret ini memecah satu bentuk yang berulang menjadi bagian-bagian berulang yang lebih sederhana dengan frekuensi yang berbeda.

Jika $f$ periodik dan mulus sepotong-sepotong pada satu periode, ekspansi ini adalah titik awal yang standar. Ini berguna karena koefisiennya menunjukkan frekuensi mana yang penting dan seberapa kuat kemunculannya.

Rumus deret Fourier untuk fungsi periodik $2\pi$

Untuk fungsi periodik $2\pi$, deret Fourier real standar adalah

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Simbol $\sim$ penting. Artinya, ini adalah deret Fourier yang terkait dengan $f$, bukan otomatis identitas aljabar di setiap titik.

Koefisiennya diperoleh dengan mengintegralkan pada satu periode penuh:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Intuisinya adalah sebagai berikut:

• $a_0/2$ adalah nilai rata-rata fungsi pada satu periode.
• $a_n$ mengukur bagian cosinus dengan frekuensi $n$.
• $b_n$ mengukur bagian sinus dengan frekuensi $n$.

Koefisien yang besar berarti frekuensi tersebut memberi kontribusi lebih besar pada bentuk akhirnya.

Apa yang berubah jika periodenya $T$ bukan $2\pi$

Jika periodenya $T$, ide yang sama tetap berlaku, tetapi gelombangnya harus sesuai dengan periode itu:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

dengan koefisien

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Anda dapat mengintegralkan pada interval mana pun yang panjangnya $T$. Syaratnya sederhana: interval tersebut harus mencakup tepat satu periode penuh.

Mengapa sinus dan cosinus bekerja di sini

Sinus dan cosinus bersifat periodik, dan frekuensi yang berbeda tetap terpisah ketika diintegralkan pada satu periode penuh. Ortogonalitas inilah yang membuat rumus koefisien bekerja.

Jadi, deret ini sebenarnya mengajukan pertanyaan yang sama berulang kali: seberapa banyak frekuensi $n$ ada di dalam fungsi asal? Koefisienlah yang menjawab pertanyaan itu.

Gunakan simetri sebelum mengintegralkan

Sebelum melakukan integral apa pun, periksa apakah fungsi tersebut genap atau ganjil.

• Jika $f$ genap, maka semua suku $b_n$ bernilai $0$.
• Jika $f$ ganjil, maka $a_0=0$ dan semua suku $a_n$ bernilai $0$.

Ini tidak menyelesaikan setiap soal, tetapi sering kali menghilangkan setengah pekerjaan sebelum Anda mulai mengintegralkan.

Contoh terkerjakan: deret Fourier dari $f(x)=x$ pada $(-\pi,\pi)$

Ambil

$$f(x) = x \qquad \text{untuk } -\pi < x < \pi$$

lalu perluas secara periodik dengan periode $2\pi$.

Ini adalah contoh awal yang baik karena fungsinya ganjil. Artinya,

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

jadi hanya suku sinus yang tersisa.

Sekarang hitung $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Karena $x$ dan $\sin(nx)$ keduanya ganjil, hasil kalinya genap. Jadi

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Gunakan integrasi parsial dengan

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Maka

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Jadi

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

Integral cosinus yang tersisa adalah

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

dan suku batas memberikan

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Oleh karena itu

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Jadi deret Fourier-nya adalah

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

atau, jika ditulis suku demi suku,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Inilah gagasan utamanya: fungsi yang tidak tampak seperti gelombang sinus tetap dapat dibangun dari gelombang sinus jika koefisiennya dipilih dengan benar.

Deret Fourier konvergen ke apa

Jika fungsi periodik mulus sepotong-sepotong, aturan buku teks yang umum adalah:

• Pada titik tempat fungsi kontinu, deret Fourier konvergen ke $f(x)$.
• Pada diskontinuitas loncat, deret Fourier konvergen ke titik tengah

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Aturan kedua ini mudah terlewat. Ini penting setiap kali perluasan periodiknya memiliki loncatan, bahkan jika rumus aslinya pada satu interval tampak tidak bermasalah.

Untuk contoh $f(x)=x$ pada $(-\pi,\pi)$, perluasan periodiknya memiliki loncatan di $x=\pm\pi$, sehingga deretnya konvergen ke $0$ di sana karena titik tengah loncatannya adalah $0$.

Kesalahan umum pada deret Fourier

1. Menggunakan rumus $2\pi$ pada soal dengan periode berbeda tanpa menskalakan ulang suku sinus dan cosinus.
2. Melupakan perluasan periodik. Deret Fourier merepresentasikan versi berulang dari fungsi, bukan hanya rumus yang ditulis pada satu interval.
3. Melewatkan pemeriksaan simetri dan melakukan integral yang tidak perlu.
4. Menghilangkan faktor normalisasi, seperti $1/\pi$ atau $2/T$.
5. Menganggap deret sama dengan nilai fungsi pada titik loncat. Dalam kondisi konvergensi yang biasa, deret mendekati titik tengahnya.

Di mana deret Fourier digunakan

Deret Fourier paling berguna ketika suatu masalah memiliki struktur periodik atau syarat batas periodik.

• Dalam sinyal dan akustik, deret ini menjelaskan harmonik dan kandungan frekuensi.
• Dalam persoalan panas dan gelombang, deret ini membantu menyelesaikan persamaan diferensial pada interval terbatas.
• Dalam teknik, deret ini mendekati masukan dan respons yang berulang.
• Dalam komputasi numerik, jumlah parsial memberikan pendekatan yang dapat digunakan bahkan ketika fungsi penuhnya lebih rumit.

Coba soal deret Fourier yang serupa

Coba proses yang sama untuk $f(x)=x^2$ pada $(-\pi,\pi)$. Mulailah dengan simetri sebelum mengintegralkan.

Kasus itu berguna karena $x^2$ adalah fungsi genap, sehingga suku sinus hilang. Membandingkannya dengan $f(x)=x$ membuat aturan simetri jauh lebih mudah diingat.