Ekspansi Taylor

Ekspansi Taylor adalah pendekatan polinomial untuk suatu fungsi di dekat satu titik yang dipilih. Ekspansi ini menggunakan turunan fungsi di titik tersebut, sehingga nilainya, kemiringannya, dan kadang perilaku orde lebih tinggi cocok di sana. Pendekatan ini biasanya hanya berguna di dekat pusatnya.

Jika $f$ memiliki cukup banyak turunan di sekitar $x=a$, polinomial Taylor di sekitar $a$ dibangun dari pola berikut:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

Berhenti pada sejumlah suku hingga menghasilkan polinomial Taylor. Jika polanya diteruskan tanpa batas, hasilnya adalah deret Taylor. Kedua gagasan ini sangat berkaitan, tetapi bukan objek yang sama.

Apa yang Dicocokkan Ekspansi Taylor di Pusat

Setiap suku dipilih agar polinomial sesuai dengan fungsi pada $x=a$.

• $f(a)$ mencocokkan nilai fungsi.
• $f'(a)$ mencocokkan kemiringan.
• $f''(a)$ membantu mencocokkan kelengkungan.

Itulah sebabnya ekspansi Taylor lebih dari sekadar rumus hafalan. Ini adalah polinomial yang dirancang untuk meniru fungsi secara lokal.

Kapan Pendekatan Taylor Bekerja dengan Baik

Ekspansi Taylor paling berguna ketika tiga kondisi berikut terpenuhi:

1. Fungsi memiliki turunan yang diperlukan di pusat.
2. Anda hanya membutuhkan nilai untuk $x$ yang dekat dengan pusat itu.
3. Polinomial lebih mudah dihitung atau dianalisis daripada fungsi aslinya.

Kondisi kedua paling penting dalam praktik. Bahkan untuk fungsi yang sudah dikenal seperti $e^x$, $\sin x$, dan $\cos x$, polinomial Taylor berderajat rendah biasanya jauh lebih baik di dekat pusat daripada jauh darinya.

Contoh: Mendekati $e^{0.2}$

Gunakan ekspansi Maclaurin, yang berarti pusatnya adalah $a=0$.

Untuk $f(x)=e^x$, setiap turunannya tetap $e^x$. Pada $x=0$:

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

Jadi polinomial Taylor derajat dua adalah

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

Sekarang substitusikan $x=0.2$:

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

Nilai sebenarnya sekitar $1.2214$, jadi pendekatannya sudah cukup dekat.

Mengapa ini berhasil? Karena $0.2$ dekat dengan pusat $0$. Polinomial pendek yang sama biasanya akan kurang akurat jika digunakan jauh lebih jauh.

Ekspansi Maclaurin Adalah Kasus $a=0$

Ketika pusatnya adalah $a=0$, ekspansi Taylor menjadi

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

Kasus khusus ini disebut ekspansi Maclaurin. Bentuk ini sering muncul karena banyak fungsi mudah diturunkan dan dievaluasi di $0$.

Kesalahan Umum dalam Ekspansi Taylor

Tertukar antara polinomial dan deret

Ekspansi Taylor hingga adalah pendekatan polinomial. Deret Taylor tak hingga adalah objek yang berbeda. Orang sering mencampurkan kedua istilah ini, tetapi perbedaannya penting saat membahas konvergensi.

Menggunakan pendekatan terlalu jauh dari pusat

Ekspansi dibangun di sekitar $a$. Jika $x$ jauh dari $a$, pendekatan berderajat rendah mungkin tidak lagi dapat diandalkan.

Menghilangkan faktorial

Koefisien dari $(x-a)^n$ adalah $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, bukan hanya $f^{(n)}(a)$. Jika faktorialnya hilang, semua suku orde lebih tinggi akan berubah.

Menganggap setiap fungsi mulus sama dengan deret Taylornya

Memiliki turunan saja tidak cukup untuk menjamin bahwa deret Taylor lengkap sama dengan fungsi di semua titik terdekat. Ekspansi hingga sebaiknya diperlakukan sebagai pendekatan, kecuali soal memberikan hasil yang lebih kuat.

Di Mana Ekspansi Taylor Digunakan

Siswa biasanya mempelajari ekspansi Taylor ketika mereka perlu:

1. Memperkirakan nilai fungsi dengan polinomial pendek.
2. Menyederhanakan ekspresi rumit di dekat titik kesetimbangan.
3. Mempelajari perilaku lokal dalam kalkulus, persamaan diferensial, atau fisika.
4. Membandingkan seberapa besar akurasi meningkat saat lebih banyak suku ditambahkan.

Coba Soal Serupa

Susun ekspansi Taylor derajat dua dari $\sin x$ di $a=0$, lalu gunakan untuk mendekati $\sin(0.1)$. Jika Anda ingin langkah berikutnya yang berguna, bandingkan pendekatan hingga itu dengan deret Taylor.