Deret Taylor vs. Maclaurin

Perbedaan antara deret Taylor dan deret Maclaurin bermuara pada satu fakta: deret Maclaurin adalah deret Taylor yang berpusat di $0$. Jika pusatnya $a = 0$, itu adalah Maclaurin. Jika pusatnya nilai lain, itu adalah deret Taylor.

Ini terdengar seperti perubahan nama yang kecil, tetapi pusat itu penting karena suatu deret biasanya paling berguna di dekat titik tempat deret tersebut dibangun.

Perbedaannya dalam Satu Rumus

Jika suatu fungsi memiliki cukup banyak turunan di $a$, maka deret Taylor di sekitar $a$ adalah

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Tetapkan $a = 0$, dan Anda mendapatkan deret Maclaurin:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Jadi strukturnya tidak berubah. Yang berubah adalah pusatnya.

Mengapa Pusat Itu Penting

Koefisien berasal dari turunan yang dievaluasi di pusat. Ubah pusatnya, dan bilangan-bilangan dalam deret biasanya juga berubah.

Deret Maclaurin dibangun untuk menggambarkan fungsi di dekat $x = 0$. Deret Taylor di sekitar $a = 2$ dibangun untuk menggambarkan fungsi yang sama di dekat $x = 2$. Keduanya bisa benar, tetapi salah satunya mungkin jauh lebih praktis untuk nilai yang Anda butuhkan.

Anda juga sebaiknya tidak membuat klaim yang lebih kuat daripada yang diizinkan soal. Deret Taylor atau Maclaurin selalu dirancang sebagai pengembangan lokal. Apakah deret itu benar-benar sama dengan fungsi pada suatu interval bergantung pada fungsi tersebut dan di mana deretnya konvergen.

Contoh: $e^x$ pada Dua Pusat yang Berbeda

Ambil

$$f(x) = e^x$$

Ini adalah perbandingan yang baik karena setiap turunan dari $e^x$ tetaplah $e^x$.

Deret Maclaurin pada $a = 0$

Pada $a = 0$, setiap nilai turunannya adalah $f^{(n)}(0) = 1$, sehingga

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Beberapa suku pertamanya adalah

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Deret Taylor pada $a = 1$

Sekarang pusatkan fungsi yang sama di $a = 1$. Maka setiap nilai turunan di pusat adalah $f^{(n)}(1) = e$, sehingga

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

Beberapa suku pertamanya adalah

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

Fungsinya tetap sama. Hanya pusatnya yang berubah. Itulah seluruh perbedaan antara deret Taylor dan Maclaurin dalam satu contoh.

Kapan Menggunakan Maclaurin atau Taylor

Gunakan deret Maclaurin ketika $0$ adalah titik acuan yang alami atau ketika turunan di $0$ mudah dihitung.

Gunakan deret Taylor di sekitar nilai lain $a$ ketika Anda memerlukan pendekatan lokal yang baik di dekat nilai tersebut. Misalnya, jika Anda ingin memperkirakan perilaku di dekat $x = 3$, mengembangkan di sekitar $a = 3$ biasanya lebih baik daripada mengembangkan di sekitar $0$.

Kesalahan Umum yang Dilakukan Siswa

Menganggap keduanya sebagai ide yang berbeda

Keduanya bukan teori yang berbeda. Maclaurin adalah satu kasus khusus dari Taylor.

Mengabaikan pusat

Dua deret untuk fungsi yang sama bisa sama-sama valid, tetapi deret yang berpusat dekat dengan nilai target Anda biasanya merupakan pendekatan yang lebih berguna.

Menganggap deret selalu sama dengan fungsi

Itu tidak otomatis benar. Jawabannya bergantung pada fungsi dan intervalnya. Pernyataan yang aman adalah bahwa deret memberikan pengembangan lokal di sekitar pusatnya, lalu Anda memeriksa konvergensi jika soal meminta lebih dari itu.

Di Mana Anda Menemui Ini dalam Kalkulus

Deret Taylor dan Maclaurin muncul saat Anda mendekati fungsi, mempelajari perilaku lokal, menyelesaikan persamaan diferensial, atau mengganti ekspresi yang rumit dengan polinom yang lebih mudah digunakan.

Pertanyaan yang terus muncul itu sederhana: titik mana yang membuat model lokal paling berguna?

Coba Soal Serupa

Tuliskan deret untuk $\sin x$ dua kali: sekali pada $a = 0$ dan sekali pada $a = \pi/4$. Membandingkan dua pengembangan itu adalah salah satu cara tercepat untuk benar-benar memahami perbedaannya.