Diferensiasi — Aturan dan Contoh

Diferensiasi berarti mencari turunan. Turunan memberi tahu seberapa cepat suatu fungsi berubah pada suatu titik, sehingga dalam kalkulus digunakan untuk soal kemiringan dan laju perubahan.

Cara tercepat untuk memilih aturan yang tepat adalah melihat strukturnya terlebih dahulu. Apakah bentuknya pangkat seperti $x^5$, jumlah seperti $x^3 + 2x$, hasil kali seperti $x^2 e^x$, atau fungsi di dalam fungsi lain seperti $(3x+1)^4$? Aturan turunan bergantung pada struktur tersebut.

Aturan Diferensiasi Mana yang Harus Digunakan?

Mulailah dari bentuk terluar ekspresi.

• Jika ekspresi berupa satu pangkat dari $x$, gunakan aturan pangkat.
• Jika suku-suku dijumlahkan atau dikurangkan, turunkan tiap suku.
• Jika dua ekspresi yang berubah dikalikan, gunakan aturan hasil kali.
• Jika satu ekspresi yang berubah dibagi dengan ekspresi lain, gunakan aturan hasil bagi.
• Jika satu fungsi berada di dalam fungsi lain, gunakan aturan rantai.

Banyak soal menggunakan lebih dari satu aturan. Dalam kasus itu, pilih dulu aturan yang sesuai dengan struktur terluarnya.

Aturan Diferensiasi Utama

Aturan Konstanta

Jika $c$ adalah konstanta, maka:

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

Bilangan tetap tidak berubah ketika $x$ berubah.

Aturan Pangkat

Jika $n$ adalah bilangan real, maka:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Contoh: $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.

Aturan Kelipatan Konstanta

Jika $c$ konstan dan $f$ dapat diturunkan, maka:

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x)$$

Konstanta tetap berada di depan.

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

Jika $f$ dan $g$ dapat diturunkan, maka:

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

Turunkan setiap suku secara terpisah, lalu pertahankan tanda plus atau minus yang sama.

Aturan Hasil Kali

Jika $f$ dan $g$ dapat diturunkan, maka:

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Gunakan ini ketika kedua faktor bergantung pada $x$.

Aturan Hasil Bagi

Jika $f$ dan $g$ dapat diturunkan dan $g(x) \ne 0$, maka:

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Syarat $g(x) \ne 0$ penting karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Aturan Rantai

Jika $y = f(g(x))$, dan kedua fungsi dapat diturunkan di tempat yang diperlukan, maka:

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Gunakan ini ketika satu fungsi tersarang di dalam fungsi lain.

Mengapa Struktur Penting dalam Diferensiasi

Aturan diferensiasi adalah jalan pintas untuk bentuk-bentuk ekspresi yang umum. Jika ekspresinya sederhana, satu aturan sering kali sudah cukup. Jika tersusun dari beberapa bagian, kamu perlu menggabungkan aturan.

Itulah sebabnya siswa sering membuat kesalahan bahkan sebelum mulai menurunkan. Keterampilan utamanya bukan aljabar terlebih dahulu. Keterampilan utamanya adalah mengenali struktur terluar sebelum menghitung apa pun.

Contoh Diferensiasi: Aturan Hasil Kali dan Aturan Rantai Sekaligus

Tentukan turunan dari:

$$y = x^2(3x+1)^4$$

Struktur terluarnya adalah hasil kali, jadi mulai dengan aturan hasil kali. Misalkan:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Maka:

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Turunkan faktor pertama:

$$f'(x) = 2x$$

Sekarang turunkan $g(x) = (3x+1)^4$. Ini memerlukan aturan rantai karena ekspresi di dalamnya adalah $3x+1$, bukan hanya $x$:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Substitusikan kedua bagian:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Ini sudah merupakan turunan yang benar. Jika kamu ingin bentuk terfaktor:

$$y' = 2x(3x+1)^3[(3x+1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Langkah yang penting bukan pemfaktorannya. Yang penting adalah menyadari bahwa seluruh ekspresi adalah hasil kali, sementara salah satu faktornya juga memerlukan aturan rantai.

Kesalahan Umum dalam Diferensiasi

1. Menggunakan aturan pangkat pada seluruh ekspresi padahal fungsinya sebenarnya merupakan hasil kali atau hasil bagi.
2. Lupa turunan bagian dalam pada aturan rantai. Untuk $(3x+1)^4$, turunan lengkapnya adalah $4(3x+1)^3 \cdot 3$.
3. Menurunkan hasil kali dengan mengalikan turunannya. Secara umum, $[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$.
4. Kehilangan syarat yang diperlukan. Aturan hasil bagi mensyaratkan penyebut tidak nol.

Kapan Aturan Diferensiasi Digunakan

Aturan diferensiasi muncul di mana pun satu besaran berubah terhadap besaran lain. Dalam kalkulus, aturan ini digunakan untuk kemiringan garis singgung, optimasi, dan sketsa kurva.

Dalam fisika, turunan menggambarkan besaran seperti kecepatan dan percepatan. Dalam ekonomi atau teknik, turunan digunakan ketika kamu memerlukan perubahan marginal atau laju perubahan.

Coba Soal Diferensiasi Serupa

Turunkan $y = (x^3 + 1)(2x - 5)^2$ dan tentukan aturan mana yang berlaku terlebih dahulu. Jika jawabanmu kehilangan dua suku dari aturan hasil kali atau turunan bagian dalam dari $(2x - 5)^2$, periksa kembali struktur terluarnya sebelum menyederhanakan.