Aturan Turunan — Pangkat, Hasil Kali, Hasil Bagi & Rantai

Aturan turunan memberi tahu Anda rumus diferensiasi mana yang sesuai dengan struktur suatu fungsi. Jika ekspresinya berupa pangkat, hasil kali, hasil bagi, atau fungsi bersarang, pilih dulu aturan untuk struktur terluar itu. Kebiasaan sederhana ini membuat sebagian besar soal turunan jauh lebih mudah.

Aturan turunan utama dan kapan menggunakannya

Aturan pangkat

Jika $n$ adalah konstanta real, maka

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Contoh: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Gunakan ini ketika ekspresinya adalah pangkat biasa dari $x$. Jika basisnya bukan hanya $x$, seperti $(3x+1)^5$, maka aturan rantai juga terlibat.

Aturan hasil kali

Jika $f$ dan $g$ terdiferensialkan, maka

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Gunakan ini ketika dua ekspresi yang berubah saling dikalikan. Turunannya memiliki dua suku karena masing-masing faktor dapat menyebabkan hasil kali berubah.

Aturan hasil bagi

Jika $f$ dan $g$ terdiferensialkan dan $g(x) \ne 0$, maka

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Gunakan ini ketika satu ekspresi yang berubah dibagi oleh ekspresi lain yang juga berubah. Syarat $g(x) \ne 0$ penting karena fungsi asal tidak terdefinisi saat penyebut bernilai nol.

Aturan rantai

Jika $y = f(g(x))$, dan kedua fungsi terdiferensialkan di tempat yang diperlukan, maka

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Gunakan ini ketika satu fungsi berada di dalam fungsi lain. Dalam bahasa sederhana: turunkan fungsi luar, biarkan ekspresi dalam tetap pada tempatnya, lalu kalikan dengan turunan dari ekspresi dalam.

Cara menentukan aturan turunan yang harus digunakan

Jangan mulai dengan mencari rumus hafalan. Mulailah dengan bertanya: apa struktur paling luar dari ekspresi ini?

• $x^7$ adalah pangkat.
• $x^2\sin(x)$ adalah hasil kali.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ adalah hasil bagi.
• $(2x-1)^4$ atau $\sin(x^2)$ adalah fungsi komposisi, jadi aturan rantai berlaku.

Jika suatu ekspresi menggabungkan beberapa struktur, mulailah dari yang paling luar. Misalnya, $x(2x-1)^4$ secara keseluruhan adalah hasil kali, meskipun salah satu faktornya juga memerlukan aturan rantai.

Contoh dikerjakan: aturan hasil kali dengan aturan rantai di dalamnya

Carilah turunan dari

$$y = x^2(3x+1)^4$$

Struktur terluarnya adalah hasil kali, jadi gunakan aturan hasil kali terlebih dahulu. Misalkan

$$f(x) = x^2 \quad \text{dan} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Maka

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Turunkan faktor pertama:

$$f'(x) = 2x$$

Turunkan faktor kedua dengan aturan rantai:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Substitusikan kedua bagian:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Ini sudah merupakan jawaban akhir yang benar. Jika Anda ingin bentuk terfaktor yang lebih rapi, keluarkan faktor-faktor yang sama:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Gagasan utamanya adalah urutan langkah. Pilih aturan hasil kali dari struktur terluar, lalu gunakan aturan rantai hanya di bagian yang memang memerlukannya di dalam faktor $(3x+1)^4$.

Kesalahan umum dalam aturan turunan

1. Menggunakan aturan pangkat untuk seluruh ekspresi padahal fungsinya sebenarnya adalah hasil kali atau hasil bagi.
2. Menulis turunan hasil kali sebagai $f'(x)g'(x)$ alih-alih dua suku yang dijumlahkan.
3. Lupa tanda minus pada pembilang aturan hasil bagi.
4. Lupa turunan dalam pada aturan rantai, misalnya mengubah $(3x+1)^4$ menjadi hanya $4(3x+1)^3$.
5. Mengembangkan bentuk terlalu awal dan membuat aljabarnya lebih sulit daripada yang diperlukan.

Di mana aturan-aturan ini digunakan dalam kalkulus

Aturan turunan penting di mana pun Anda memerlukan laju perubahan. Dalam mata kuliah kalkulus, ini biasanya berarti kemiringan garis singgung, gerak, optimasi, dan perilaku grafik. Dalam fisika, aturan ini muncul pada kecepatan dan percepatan. Dalam teknik atau ekonomi, aturan ini membantu menjelaskan bagaimana satu besaran merespons ketika besaran lain berubah.

Coba soal serupa

Turunkan

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

Ini adalah latihan yang baik untuk memeriksa struktur karena bentuk luarnya adalah hasil bagi, sementara penyebutnya juga memerlukan aturan rantai.

Jika Anda ingin perbandingan lain yang mirip, lanjutkan ke Chain Rule atau Product Rule berikutnya.