Formule de distance — entre deux points en 2D et 3D

La formule de distance donne la distance en ligne droite entre deux points dans un plan de coordonnées ou dans l’espace 3D. Pour les points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ en 2D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Pour les points $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ en 3D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Utilisez cette formule quand vous voulez la longueur réelle entre deux points, et pas seulement la variation horizontale ou verticale. Elle s’applique dans un repère cartésien standard lorsque chaque axe utilise la même unité.

Formule de distance en 2D : ce qu’elle mesure

La formule combine deux variations perpendiculaires : le déplacement selon $x$ et le déplacement selon $y$. Ces variations forment les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, et la distance entre les points est l’hypoténuse.

Pourquoi la formule de distance fonctionne

Dans le plan, la formule de distance vient directement du théorème de Pythagore. Si

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

et

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

alors

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

donc

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

La formule n’est donc pas une règle séparée à mémoriser. C’est le théorème de Pythagore écrit sous forme de coordonnées.

En 3D, on ajoute une variation perpendiculaire de plus :

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

C’est la même idée, étendue à une dimension supplémentaire.

Exemple corrigé : distance entre deux points

Trouvez la distance entre $(1, 2)$ et $(5, 7)$.

Commencez par la formule de distance en 2D :

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Remplacez par les coordonnées :

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Simplifiez les différences :

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Élevez au carré puis additionnez :

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

La distance exacte est donc $\sqrt{41}$. En valeur décimale, $d \approx 6.4$.

Une vérification rapide aide. Les points sont séparés de $4$ unités horizontalement et de $5$ unités verticalement, donc la distance en ligne droite doit être supérieure à $5$ mais inférieure à $9$. $\sqrt{41}$ convient.

Formule de distance en 3D

La mise en place est la même, mais on inclut maintenant la variation en $z$.

Par exemple, entre $(1, 2, 3)$ et $(5, 7, 6)$, les variations de coordonnées sont $4$, $5$ et $3$, donc

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

La méthode ne change pas. Vous soustrayez les coordonnées correspondantes, vous élevez les différences au carré, vous les additionnez, puis vous prenez la racine carrée positive.

Erreurs fréquentes avec la formule de distance

1. Élever au carré avant de soustraire. La formule utilise $(x_2 - x_1)^2$, et non $x_2^2 - x_1^2$.
2. Oublier la racine carrée. Si vous vous arrêtez après l’addition des carrés, vous avez trouvé $d^2$, pas $d$.
3. Confondre les axes. Une coordonnée en $x$ doit être associée à l’autre coordonnée en $x$, et de même pour $y$ et $z$.
4. Perdre un signe négatif lors du remplacement. Par exemple, $-1 - 3 = -4$, pas $4$.
5. Utiliser la formule quand le graphique n’emploie pas une distance cartésienne standard. Si les axes utilisent des échelles différentes, la distance géométrique change.

Quand utiliser la formule de distance

Vous utilisez la formule de distance en géométrie analytique chaque fois que deux points sont donnés et que l’énoncé demande la longueur du segment qui les relie.

Les cas courants incluent le calcul de longueurs sur un graphique, la vérification qu’un point appartient à un cercle, la comparaison de distances à partir d’un centre et la mesure d’une séparation en ligne droite en géométrie 3D.

Vérification rapide avant de faire confiance à la réponse

Posez-vous deux questions :

1. Ai-je d’abord soustrait, puis élevé au carré ?
2. La distance finale a-t-elle une valeur raisonnable par rapport aux variations de coordonnées ?

Ces deux vérifications permettent de repérer rapidement la plupart des erreurs.

Essayez un problème similaire

Trouvez la distance entre $(-2, 3)$ et $(4, -1)$ en 2D. Comparez ensuite votre mise en place avec la formule du milieu pour voir la différence entre calculer une longueur et trouver le point situé à mi-chemin sur le segment.