Comment trouver la pente

Pour trouver la pente, divisez la variation de $y$ par la variation de $x$. Si vous connaissez deux points, utilisez la formule de la pente

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

tant que $x_2 \ne x_1$. C’est la même idée que la montée sur le déplacement horizontal : de combien la droite monte ou descend par rapport à la distance qu’elle parcourt vers la droite.

La pente indique à quelle vitesse une droite varie. Une pente positive signifie que la droite monte de gauche à droite, une pente négative signifie qu’elle descend, et une pente de $0$ signifie que la droite est horizontale.

Si $x_2 - x_1 = 0$, la droite est verticale. Dans ce cas, la pente est indéfinie, car la formule demanderait une division par $0$.

Ce que signifie la pente

La pente est un taux de variation. Elle compare la variation de $y$ à la variation de $x$.

C’est pourquoi la pente apparaît en algèbre, sur les graphiques et dans les tableaux de données. La même idée fonctionne partout où une relation change à un taux constant.

Comment trouver la pente à partir de deux points

Utilisez le même ordre de soustraction au numérateur et au dénominateur :

1. Choisissez les deux points.
2. Soustrayez les valeurs de $y$ pour obtenir la variation de $y$.
3. Soustrayez les valeurs de $x$ dans le même ordre pour obtenir la variation de $x$.
4. Divisez.
5. Simplifiez si possible.

Si vous inversez les deux ordres de soustraction, la pente reste la même. Si vous n’en inversez qu’un seul, le signe sera faux.

Exemple résolu : trouver la pente entre deux points

Trouvez la pente de la droite passant par $(2, 3)$ et $(5, 9)$.

Commencez par la formule :

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Remplacez par les coordonnées dans le même ordre :

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

La pente est $2$. Cela signifie que chaque fois que $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $2$.

Vous pouvez aussi l’interpréter comme la montée sur le déplacement horizontal. De $(2, 3)$ à $(5, 9)$, la droite monte de $6$ et va de $3$ vers la droite, donc la pente est $6/3 = 2$.

Comment trouver la pente à partir d’un graphique

Choisissez deux points de grille bien visibles sur la droite. Comptez d’abord la variation verticale, puis la variation horizontale.

Si vous montez de $4$ et allez de $2$ vers la droite, la pente est

$$\frac{4}{2} = 2$$

Si vous descendez de $3$ et allez de $1$ vers la droite, la pente est

$$\frac{-3}{1} = -3$$

Utiliser des points situés aux intersections de la grille aide à éviter les erreurs de comptage.

Comment trouver la pente à partir d’un tableau

Un tableau ne donne une pente que si le taux de variation est constant. Choisissez deux lignes et calculez

$$\frac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x}$$

Si vous obtenez la même valeur avec différentes paires de lignes, la relation est linéaire et cette valeur constante est la pente.

Par exemple, si $x$ passe de $1$ à $3$ pendant que $y$ passe de $4$ à $10$, alors

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Erreurs courantes quand on cherche la pente

Une erreur fréquente consiste à soustraire dans des ordres différents. Si vous utilisez $y_2 - y_1$, vous devez aussi utiliser $x_2 - x_1$.

Une autre erreur consiste à dire que la pente d’une droite verticale vaut $0$. Si deux points ont la même valeur de $x$, le dénominateur vaut $0$, donc la pente est indéfinie.

Une troisième erreur consiste à supposer que n’importe quel tableau a une pente. Un tableau n’a une seule pente que si le taux de variation reste constant.

Quand la pente est utilisée

La pente est utilisée chaque fois que vous voulez décrire comment une grandeur varie par rapport à une autre. On la retrouve dans le tracé des droites, l’écriture des équations linéaires, les formules de physique à taux constants et les tableaux de données qui suivent un modèle linéaire.

Essayez votre propre version

Trouvez la pente entre $(1, -2)$ et $(4, 7)$. Écrivez l’étape de soustraction avant de simplifier, puis décidez si la droite monte ou descend lorsque $x$ augmente.

Si vous voulez un cas de plus, essayez votre propre version avec deux nouveaux points et vérifiez que le dénominateur reste non nul avant de diviser.