Règles de dérivation — puissance, produit, quotient et chaîne

Les règles de dérivation indiquent quelle formule de dérivation correspond à la structure d’une fonction. Si l’expression est une puissance, un produit, un quotient ou une fonction imbriquée, choisissez d’abord la règle correspondant à cette structure extérieure. Cette seule habitude rend la plupart des exercices de dérivation beaucoup plus simples.

Les principales règles de dérivation et quand les utiliser

Règle de la puissance

Si $n$ est une constante réelle, alors

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Exemple : $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Utilisez cette règle lorsque l’expression est une simple puissance de $x$. Si la base n’est pas seulement $x$, comme dans $(3x+1)^5$, la règle de la chaîne intervient aussi.

Règle du produit

Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Utilisez cette règle lorsque deux expressions variables sont multipliées. La dérivée comporte deux termes, car chacun des deux facteurs peut faire varier le produit.

Règle du quotient

Si $f$ et $g$ sont dérivables et $g(x) \ne 0$, alors

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Utilisez cette règle lorsqu’une expression variable est divisée par une autre. La condition $g(x) \ne 0$ est importante, car la fonction de départ n’est pas définie là où le dénominateur est nul.

Règle de la chaîne

Si $y = f(g(x))$, et que les deux fonctions sont dérivables là où il le faut, alors

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Utilisez cette règle lorsqu’une fonction est à l’intérieur d’une autre. En langage simple : dérivez la fonction extérieure, gardez l’expression intérieure telle quelle, puis multipliez par la dérivée de l’expression intérieure.

Comment savoir quelle règle de dérivation utiliser

Ne commencez pas par chercher une formule apprise par cœur. Commencez par vous demander : quelle est la structure la plus extérieure de l’expression ?

• $x^7$ est une puissance.
• $x^2\sin(x)$ est un produit.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ est un quotient.
• $(2x-1)^4$ ou $\sin(x^2)$ est une fonction composée, donc la règle de la chaîne s’applique.

Si une expression mélange plusieurs structures, commencez par la plus extérieure. Par exemple, $x(2x-1)^4$ est globalement un produit, même si l’un des facteurs nécessite aussi la règle de la chaîne.

Exemple détaillé : règle du produit avec une règle de la chaîne à l’intérieur

Déterminez la dérivée de

$$y = x^2(3x+1)^4$$

La structure extérieure est un produit, donc on utilise d’abord la règle du produit. Posons

$$f(x) = x^2 \quad \text{et} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Alors

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Dérivons le premier facteur :

$$f'(x) = 2x$$

Dérivons le second facteur avec la règle de la chaîne :

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Remplaçons par les deux résultats :

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

C’est déjà une réponse finale correcte. Si vous voulez une forme factorisée plus propre, mettez en facteur les éléments communs :

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

L’idée essentielle est l’ordre des étapes. Choisissez la règle du produit à partir de la structure extérieure, puis utilisez la règle de la chaîne seulement là où elle est nécessaire à l’intérieur du facteur $(3x+1)^4$.

Erreurs fréquentes avec les règles de dérivation

1. Utiliser la règle de la puissance sur toute l’expression alors que la fonction est en réalité un produit ou un quotient.
2. Écrire la dérivée d’un produit sous la forme $f'(x)g'(x)$ au lieu de deux termes additionnés.
3. Oublier le signe moins au numérateur dans la règle du quotient.
4. Oublier la dérivée intérieure dans la règle de la chaîne, par exemple en transformant $(3x+1)^4$ en seulement $4(3x+1)^3$.
5. Développer trop tôt et rendre l’algèbre plus difficile que nécessaire.

Où ces règles sont utilisées en calcul différentiel

Les règles de dérivation sont importantes partout où l’on a besoin d’un taux de variation. Dans un cours de calcul différentiel, cela concerne généralement les pentes des tangentes, le mouvement, l’optimisation et le comportement des courbes. En physique, elles apparaissent dans la vitesse et l’accélération. En ingénierie ou en économie, elles aident à décrire comment une grandeur réagit quand une autre varie.

Essayez un exercice similaire

Dérivez

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

C’est un bon test de structure, car la forme extérieure est un quotient, tandis que le dénominateur nécessite aussi la règle de la chaîne.

Si vous voulez un autre exemple proche, consultez ensuite Chain Rule ou Product Rule.