Dérivation logarithmique

La dérivation logarithmique est une méthode pour trouver des dérivées en prenant d’abord $\ln$ des deux côtés, puis en dérivant implicitement. Elle est surtout utile lorsqu’une fonction a un exposant variable, comme $x^x$, ou lorsque des produits et des quotients seraient pénibles à développer terme à terme.

Si vous avez cherché comment dériver $x^x$, c’est la méthode standard. La règle usuelle de dérivation des puissances ne s’applique pas directement, car l’exposant n’est pas constant.

Comment fonctionne la dérivation logarithmique

Commencez par écrire

$$y = f(x)$$

Puis prenez le logarithme népérien des deux côtés :

$$\ln y = \ln(f(x))$$

L’intérêt est que les règles des logarithmes transforment des structures difficiles en formes plus simples avant la dérivation :

1. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
2. $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$
3. $\ln(a^r) = r \ln a$

La troisième règle est la plus importante. Elle fait descendre un exposant sous forme de facteur, ce qui est généralement bien plus facile à dériver.

Quand utiliser la dérivation logarithmique

La dérivation logarithmique est particulièrement utile lorsqu’au moins une des situations suivantes se présente :

1. La fonction est une puissance variable, comme $x^x$ ou $(x^2+1)^x$.
2. La fonction est un long produit ou quotient qui serait fastidieux à traiter avec des applications répétées des règles du produit et du quotient.
3. Prendre le logarithme rend la structure plus lisible avant de dériver.

En calcul différentiel réel, le domaine compte. L’étape du logarithme exige que l’expression à l’intérieur du log soit positive sur l’intervalle considéré. De nombreux exemples de manuels sont choisis de sorte que cette condition soit déjà satisfaite.

Exemple détaillé : dériver $y = x^x$

Supposons que $x > 0$. Cette condition est importante, car $\ln x$ n’est défini que pour les $x$ positifs en calcul réel.

Commencez par

$$y = x^x$$

Prenez le logarithme népérien des deux côtés :

$$\ln y = \ln(x^x)$$

Utilisez maintenant la règle du logarithme d’une puissance :

$$\ln y = x \ln x$$

Dérivez les deux côtés par rapport à $x$ :

$$\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}(x \ln x)$$

Le membre de droite nécessite la règle du produit :

$$\frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + 1$$

Donc

$$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$$

Multipliez les deux côtés par $y$ :

$$y' = y(\ln x + 1)$$

Remplacez maintenant $y$ par la fonction d’origine :

$$y' = x^x(\ln x + 1)$$

Ainsi, la dérivée de $x^x$ pour $x > 0$ est

$$\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(\ln x + 1)$$

Pourquoi cette méthode est utile

Sans dérivation logarithmique, $x^x$ ne correspond pas à la règle usuelle de dérivation des puissances $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$, car cette règle suppose que $n$ est constant.

Après avoir pris les logarithmes, l’exposant devient une partie du produit $x \ln x$, et les règles de dérivation habituelles s’appliquent de nouveau. C’est l’idée essentielle à retenir : les logarithmes réorganisent l’expression avant qu’on la dérive.

Erreurs fréquentes

1. Oublier de vérifier le domaine. En calcul réel, $\ln$ exige une entrée positive.
2. Oublier que $\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{y'}{y}$, et non simplement $y'$.
3. Dériver incorrectement $x \ln x$ en oubliant la règle du produit.
4. S’arrêter à $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ et oublier de multiplier par $y$ à la fin.
5. Utiliser la dérivation logarithmique alors qu’une règle plus simple permettrait d’aller plus vite.

Où les élèves utilisent la dérivation logarithmique

Vous verrez cette méthode en calcul différentiel dès que des expressions mélangent puissances, produits et quotients d’une manière que les règles ordinaires rendent compliquée. Elle est courante dans les problèmes de dérivées avec exposants variables, et elle aide aussi à simplifier certaines formules avant de passer à l’optimisation ou aux taux de variation liés.

Essayez un problème similaire de dérivation logarithmique

Essayez votre propre version avec

$$y = (x^2 + 1)^x$$

C’est un bon exercice de prolongement, car la base reste positive pour tout réel $x$, donc l’étape du logarithme est valable partout. Si vous parvenez à transformer $\ln y$ en $x \ln(x^2 + 1)$ puis à dériver cela proprement, c’est que la méthode est acquise.